1、第二章空间向量与立体几何5 夹角的计算第16课时 直线与平面的夹角基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.理解直线与平面的夹角的概念.2.掌握用向量的方法求解直线与平面之间的夹角问题.基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的投影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A.2 B.6 C.4 D.3D解析：cosa，b12 2 12，且a，b0，a，b3.2如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D的夹角是()AC1BB1 BC1BDCC1BD1 DC1BOD解析：由
2、三垂线定理得，OB为BC1在平面BB1D1D上的投影故选D.3设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n.若a，n23，则l与的夹角为()A.23 B.3C.6 D.56C解析：如图所示，直线l与平面的夹角23 26.4若平面的一个法向量n(4,1,1)，直线l的一个方向向量a(2，3，3)，则直线l与平面所成的角的余弦值为()A 1111 B.1111 C 11011 D.91333D解析：cosa，n2，3，34，1，1499 1611 83322 18 43 11，l与所成角的余弦值为143 112 91333.5在矩形ABCD中，AB1，BC2，PA平面ABCD，PA1，则P
3、C与平面ABCD所成角是()A30 B45 C60 D90A解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，2，0)，PC(1，2，1)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，所以cosPC，n PC n|PC|n|12，所以PC，n120，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30.6正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1夹角的余弦值为()A.23 B.33 C.23 D.63D解析：建系如图设正方体棱长为1，则 BB1(0,0,1)因为B1D平面ACD1，所以取DB1(1,1,1)为平面ACD1的一
4、个法向量设BB1与平面ACD1的夹角为，则sinBB1 DB1|BB1|DB1|13 33，所以cos 63.7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD夹角的正弦值为()A 105 B.105 C 155 D.155B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)所以BD(2，2,0)，BB1(0,0,2)，BE(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)因为nBD，nBB1，所以2x2y0，2z0.所以xy，z0.令y1，则n(1,1,0)所以cosn，BE
5、nBE|n|BE|105，设直线BE与平面B1BD的夹角为，则sin|cosn，BE|105.8如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点则BD与平面ADMN的夹角为()A30 B60 C120 D150A解析：如图所示，建立空间直角坐标系设BC1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则N(1,0,1)，所以BD(2,2,0)，AD(0,2,0)，AN(1,0,1)设平面ADMN的一个法向量为n(x，y，z)，则由 nAD 0，nAN 0得y0，xz0.取x1，则
6、z1，所以n(1,0，1)则cosBD，n BD n|BD|n|28 212，又090，所以sin|cosBD，n|12，所以30.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.74解析：设平面xOz的法向量为n(0，t,0)(t0)AB(1,3，6)，cosn，AB nAB|n|AB|3t4|t|.n，AB0，sinn，AB1 3t4|t|2 74.10已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于.64解析：如图，
7、作B1DA1C1，垂足为D，连接AD.ABC-A1B1C1为正三棱柱，B1D平面ACC1A1，B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1所成的角设AB2a，则B1D 3a，AB12 2a.sinB1ADB1DAB1 64.11在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D为A1C1的中点，F在棱AA1上，且直线CF与平面B1DF的夹角为90，则AF的长为.a或2a解析：以B点为原点，建立如图空间直角坐标系因为AC2a，ABC90，所以ABBC2a，所以B(0,0,0)，A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，B1(0,0,3a)，A1(2a
8、,0,3a)，C1(0，2a,3a)，D22 a，22 a，3a，设AFb，则F(2a,0，b)，所以CF(2a，2a，b)，B1D 22 a，22 a，0，B1F(2a,0，b3a)，因为CF与平面B1DF夹角为90，即CF平面B1DF，所以CF B1D 0，CF B1F 0，即a2a20，2a2b23ab0，解得ba或b2a，即AF的长为a或2a.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，AB的中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
9、则由E，F分别是AA1，AB的中点，得E(2,0,1)，F(2,1,0)过F作FGAC于G，则由正方体性质知FG平面ACC1A1.连接EG，则EG 与EF的夹角即为所求又因为F是AB的中点，所以AG14AC，所以G32，12，0.EG 12，12，1，EF(0,1，1)，cosEG，EF EG EF|EG|EF|32.所以EG，EF6，即EF与平面ACC1A1的夹角为6.13(13分)如图，在直三棱柱ABO-ABO中，OOOA4，OB3，AOB90.D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点若OPBD，试求：(1)OP与底面AOB的夹角的正切值；(2)BD与侧面AOOA的夹角的正弦值解：如图，以
10、O为原点建立空间直角坐标系由题意，得B(3,0,0)，D(32，2,4)设P(3,0，z)，则 BD(32，2,4)，OP(3,0，z)BDOP，BD OP 9204z0，解得z98.P(3,0，98)(1)BB平面AOB，POB是OP与底面AOB的夹角tanPOB98338，OP与底面AOB的夹角的正切值是38.(2)OB(3,0,0)，且OB平面AOOA，平面AOOA的法向量为OB(3,0,0)又DB(32，2，4)，OB DB 3320(2)0(4)92.又|OB|3，|DB|3222242 892，cosOB，DB OB DB|OB|DB|923 8923 8989.BD与侧面AOOA
11、的夹角的正弦值为3 8989.能力提升14(5分)如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB 2，BC2AE2，PAB是等腰三角形，则直线PB与平面PCD的夹角的正切值为.33解析：延长AE，CD交于点F，则四边形ABCF为平行四边形，由题意知，D，E分别是CF，AF的中点，所以CD12AB 22.在ABC中，由余弦定理可求得AC 2，所以ABC是等腰直角三角形，ABAC，于是以A点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，D 22，2，0.又PAB是等腰三角形，所以PA2，所以P(0,0
12、，2)，所以 PB(2，0，2)，PC(0，2，2)，CD 22，0，0.设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由 nPC 0，nCD 0得 2y 2z0，22 x0.令z1，得n(0,1,1)设直线PB与平面PCD的夹角为，所以sin|cosn，PB|nPB|n|PB|12，所以6，故tan 33.15(15分)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解：(1)证明：因为BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平
13、面ABCEH，所以BCFG，BCEH，所以FGEH.同理EFAD，HGAD，所以EFHG，所以四边形EFGH是平行四边形又由三视图可知AD平面BDC，所以ADBC，所以EFFG，所以四边形EFGH是矩形(2)如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，DA(0,0,1)，BC(2,2,0)，BA(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，因为EFAD，FGBC，所以nDA 0，nBC0.得z0，2x2y0，取 n(1,1,0)，所以 sin|cosBA，n|BAn|BA|n|25 2 105.谢谢观赏！Thanks!
