1、章末复习提升课1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；cos A；cos B；cos C2三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围；(2)由两个角的正弦值相等求两角关系
2、时，注意不要忽视两角互补情况；(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况2三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，无解；若sin B1，一解；若sin B1，一解或两解(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，这是关于c的一元二次方程若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有
3、唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解正、余弦定理在解三角形中的应用正、余弦定理都是联系任意三角形边和角的关系的体现了边与角的和谐统一正余弦定理是解三角形的常用工具若已知一边和两角(如a，B，C)，一般用正弦定理求边，在有解时，解唯一；若已知两边及夹角，一般用余弦定理求出第三边，再用正弦或余弦定理求解；若已知三边一般用余弦定理求角；若已知两边和其中一边的对角，这时三角形不确定，故有解时可能不唯一，可用正弦定理求解，但要注意分情况讨论，而用余弦定理求解只需根据方程根的情况进行判断，可以避免讨论在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()ABCD【解析】设AB
4、C中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsin c，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cos A，故选C.【答案】C【点评】解三角形问题，一般需要正、余弦定理结合使用选用正弦定理求角时，要注意解的情况是否唯一三角形面积计算对于此类问题，一般用公式Sabsin Cbcsin Aacsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解.在ABC中，CA，si
5、n B.(1)求sin A的值；(2)设AC，求ABC的面积【思路点拨】(1)由三角形的内角和及已知推出A和B的关系，可求得sin A.(2)由正弦定理先求得BC，再利用Sabsin C求三角形的面积【解】(1)由CA和ABC，得2AB，0Ab可得AB，即B为锐角，则cos B.2若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A B84C1 D解析：选A.由余弦定理得c2a2b22abcos Ca2b2ab，代入(ab)2c24中得(ab)2(a2b2ab)4，即3ab4，所以ab.故选A.3设l，l1，l2是钝角三角形的三边长，则l的取值范围是_解
6、析：因为l，l1，l2是钝角三角形的三边长，所以l0，且l21，设最长边所对的角为C，由题意知cos C0，即cos C0，所以0，即l22l30，1l3，所以1l3.答案：(1，3)4.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解：(1)依题意，BAC120，AB12，AC10220，在ABC中，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，BC28.所以渔船甲的速度为v14(海里/小时)(2)在ABC中，AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理得，即，从而sin .5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2，C60.(1)求的值；(2)若abab，求ABC的面积SABC.解：(1)由正弦定理可设，所以asin A，bsin B，所以.(2)由余弦定理得c2a2b22abcos C，即4a2b2ab(ab)23ab，又abab，所以(ab)23ab40，解得ab4或ab1(舍去)，所以SABCabsin C4.