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2020-2021学年北师大版数学选修2-1作业课件:2-4 第14课时 用向量讨论垂直与平行 .ppt

1、第二章空间向量与立体几何4 用向量讨论垂直与平行 第14课时 用向量讨论垂直与平行基础训练课时作业设计(45分钟)作业目标1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系.基础巩固一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1若直线l1,l2的方向向量分别为a(1,2,2),b(2,3,2),则()Al1l2Bl1l2Cl1,l2相交但不垂直D不能确定B解析:ab1(2)23(2)20,ab.l1l2.2已知线段AB的两端点坐标为A(9,3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()A

2、xOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交C解析:A(9,3,4),B(9,2,1),AB(0,5,3)yOz平面内的向量的一般形式为a(0,y,z),ABa.AB平面yOz.AB平面yOz.3.如图,在空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为单位正方体,给出下列结论:直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)其中正确结论的个数为()A1 B2C3 D4C解析:DD1AA1,AA1(0,0,1);BC1AD1,AD1(0,1,1);直线AD平面ABB1A

3、1,AD(0,1,0);点C1的坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD不垂直,正确,错4若两个不同的平面与的法向量分别是a(1,0,2),b(1,0,2),则平面与的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直D无法判断A解析:因为ab,所以ab.因此两个平面平行5已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.33,33,33 B.33,33,33C.33,33,33 D.33,33,33D解析:设平面ABC的法向量为n(x,y,z),AB(1,1,0),AC(1,0,1)由nAB0,nAC 0,得xy0,xz0.令z1,得xy1.所以n(1,1

4、,1),|n|3,得平面ABC的单位法向量为33,33,33,故选D.6已知平面内有一个点A(2,1,2),的一个法向量为n(3,1,2),则下列点P中在平面内的是()A(1,1,1)B.1,3,32C.1,3,32 D.1,3,32B解析:要判断点P是否在平面内,只需判断向量 PA 与平面的法向量n是否垂直,即 PA n是否为0,因此,要对各个选项进行检验对于选项A,PA(1,0,1),则PA n(1,0,1)(3,1,2)50,故排除A;对于选项B,PA1,4,12,则PAn1,4,12(3,1,2)0,故B正确;同理可排除C,D.故选B.7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中

5、,E是上底面中心,则AC1与CE的位置关系是()A平行 B相交C垂直 D以上都不是C解析:如图所示,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设正方体棱长为单位长度1,则A(1,0,0),C1(0,1,1),E(12,12,1),C(0,1,0),AC1(1,1,1),CE(12,12,1)AC1 CE(1,1,1)(12,12,1)121210.AC1 CE,即AC1CE.8设棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为棱DD1所在直线上一点,且满足B1D平面PAC,则点P为()A棱DD1的中点B点D1CDD1的延长线上一点D不存在B解析:以D为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(a,0

6、,0),C(0,a,0),D(0,0,0),B1(a,a,a)设存在点P(0,0,z),则AP(a,0,z),AC(a,a,0),DB1(a,a,a)B1D平面PAC,DB1 AP0,DB1 AC 0,a2az0,a2a20,az,即点P与点D1重合二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)9若直线l的方向向量a(2,3,1),平面的一个法向量n(4,0,8),则直线l与平面的位置关系是.l或l解析:因为an0,所以l或l.10已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),向量(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则xyz.111解析:设n(x,y,z)n平面ABC,nA

7、B 0,nBC 0.A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),AB(1,1,0),BC(0,1,1)(x,y,z)(1,1,0)0,xy0;(x,y,z)(0,1,1)0,yz0,xyz111.11已知空间三点A(0,0,1),B(1,1,1),C(1,2,3),若直线AB上一点M满足CMAB,则点M的坐标为.12,12,1解析:设M(x,y,z),又AB(1,1,0),AM(x,y,z1),CM(x1,y2,z3),由题意得1xy20,xy,z10.x12,y12,z1,点M的坐标为12,12,1.三、解答题(本大题共2小题,共25分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)12(

8、12分)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PDDC,E是PC的中点证明:PA平面EDB.证明:如图所示,建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设PDDCa.方法一:连接 AC,交 BD 于点 G,连接 EG,依题意得 D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,a2,a2)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为(a2,a2,0),所以EG(a2,0,a2)又PA(a,0,a),所以PA2EG,这表明 PAEG.而 EG 平面 EDB,且 PA/平面 EDB,所以 PA平面 EDB.方法二:设平面

9、BDE 的法向量为 n(x,y,z),DE(0,a2,a2),EB(a,a2,a2),则有nDE 0,nEB0,即a2yz0,axy2z20,即yz0,2xyz0.令 y1,则x1,z1.所以 n(1,1,1),又PA(a,0,a),所以 nPA(1,1,1)(a,0,a)aa0.所以 nPA.所以 PA平面 EDB.方法三:假设存在实数,使得PADE EB,即(a,0,a)(0,a2,a2)(a,a2,a2),则有aa,0a2a2a2,aa2a2,解得1,1.所以PADE EB,所以 PA平面 BDE.13(13 分)如图,在四棱锥 E-ABCD 中,AB平面 BCE,CD平面 BCE,AB

10、BCCE2CD2,BCE120.求证:平面 ADE平面 ABE.证明:取 BE 的中点 O,连接 OC.BCCE,OCBE.又 AB平面 BCE,以 O 为原点建立空间直角坐标系,则由已知条件有 C(1,0,0),B(0,3,0),E(0,3,0),D(1,0,1),A(0,3,2)设平面 ADE 的一个法向量为 n(a,b,c),则 nEA(a,b,c)(0,2 3,2)2 3b2c0.且 nDA(a,b,c)(1,3,1)a 3bc0.可取 n(0,1,3)又 AB平面 BCE,ABOC,OC平面 ABE,平面 ABE的法向量可取为 m(1,0,0)nm(0,1,3)(1,0,0)0,nm

11、,平面 ADE平面 ABE.能力提升14(5分)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,且C1EF90,则点F的坐标为()A.2,12,0B.2,13,0C.2,14,0D.2,23,0A解析:设F(2,m,0),由题意知,E(2,0,1),C1(0,2,2),则 C1E(2,2,1),EF(0,m,1),C1EF90,C1E EF0,即2m10,解得m12,点F的坐标为2,12,0.15(15分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14.(1)求证:ACBC1;(2)在AB上是否存在点D

12、,使得AC1CD?(3)在AB上是否存在点D,使得AC1平面CDB1?解:直三棱柱ABC-A1B1C1,AC3,BC4,AB5,则AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4)(1)证明:AC(3,0,0),BC1(0,4,4),AC BC1 0,AC BC1,ACBC1.(2)假设在AB上存在点D,使得AC1CD,则AD AB(3,4,0),其中01,则D(33,4,0),于是CD(33,4,0),由于AC1(3,0,4),且AC1CD,990,得1,在AB上存在点D,使得AC1CD,且这时点D与点B重合(3)假设在AB上存在点D,使得AC1平面CDB1,则AD AB(3,4,0),其中01,则D(33,4,0),B1D(33,44,4),又B1C(0,4,4),AC1(3,0,4),AC1平面CDB1,存在实数m,n,使AC1 mB1D nB1C 成立,m(33)3,m(44)4n0,4m4n4.12,在AB上存在点D使得AC1平面CDB1,且D是AB的中点谢谢观赏!Thanks!

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