1、第六节抛物线授课提示：对应学生用书第164页基础梳理1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内(2)与一个定点F和一条定直线l距离相等(3)l不经过点F.2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0(x轴)x0(y轴)焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦点弦性质设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y
2、1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3).(4)以弦AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.四基自测1(基础点：抛物线定义)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.BC.D0答案：B2(基础点：求抛物线标准方程)以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是()Ay4x2 By8x2Cy24x D.y28x答案：D3(基础点：抛物线的定义)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个
3、B1个C2个 D.4个答案：C4(易错点：抛物线的性质)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案：y28x或x2y授课提示：对应学生用书第165页考点一抛物线的定义及应用挖掘抛物线上点到焦点的距离/ 自主练透例(1)(2020河北三市联考)过点P(2，0)的直线与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.BC. D.2解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x2的垂线，垂足分别为点D、E(图略)|PA|AB|，又，得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.答案A(2)已知
4、P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A21 B22C.1 D.2解析由题意得圆x2(y4)21的圆心A(0，4)，半径r1，抛物线的焦点F(1，0)由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|r11.选C.答案C(3)过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|10，则AB的中点到y轴的距离等于()A1 B2C3 D.4解析AB的中点到抛物线准线的距离为5，所以AB的中点到y轴的距离为514.答案D破题技法利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹
5、问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化考点二抛物线的方程及性质挖掘抛物线方程与性质的关系/ 自主练透例(1)(2019高考全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4 D.8解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0)由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D.答案D(2)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且30，直线MN交l于点P，NNl，垂足为N.若MNP的面积为2
6、4，则F到l的距离为()A4B6C8D12解析作出图形如图，作MMl，垂足为M，设|NF|m(m0)，则|NN|m.由30，得|MF|3m，则|MM|3m，过点N作NGMM，垂足为G，则|MG|m，|MG|2m，所以NMG60，所以|MP|6m，|NP|2m，|NP|m，SMNP|MM|NP|3mm24，所以m4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p6.答案B(3)(2020江西萍乡一模)已知抛物线C：y22 px(p0)的焦点为F，准线l：x1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x1上的射影为A，且直线AF的斜率为，则MAF的面积为()A. B2C4 D.8解析如图所示，设准线l与x轴
7、交于点N.则|FN|2.直线AF的斜率为，AFN60.MAF60，|AF|4.由抛物线的定义可得|MA|MF|，AMF是边长为4的等边三角形SAMF424.故选C.答案C破题技法1.求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0)，这样就减少了不必要的讨论(2)注意点当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；要掌
8、握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算考点三直线与抛物线的综合问题挖掘1直线与抛物线相交问题/ 自主练透例1(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7 D.8解析由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1，2)，N为(4，4)又抛物线焦点为F(1，
9、0)，(0，2)，(3，4)，03248.故选D.答案D破题技法直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决挖掘2抛物线的焦点弦问题/ 互动探究例2(1)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，那么A1FB1等于()A. BC. D. 解析由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1，即A1
10、FB1.答案C(2)(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.求l的方程；求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.由得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2
11、(y2)216或(x11)2(y6)2144.破题技法解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解挖掘3抛物线与其他曲线的综合/ 互动探究例3(2019高考全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动
12、时，|MA|MP|为定值？并说明理由解析(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.