1、2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1设集合A=1，2，B=（a+1，2），若AB=1，2，3，则实数a的值为 2若向量=（2，1），=（4，x），且，则x的值为 3在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=120，则ABC的面积为 4函数f（x）=lg（2xx2）的定义域为 5若指数函数f（x）=（a1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是 6已知直线xy=0与圆（x2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为 7已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为 8已知长方体
2、ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，则该长方体外接球的表面积为 9如图，D，E分别是ABC的边AC，BC上的点，且=， =若=+（，R），则+的值为 10如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为 11将函数f（x）=sinx（06）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为 12在ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，B的平分线交AC于点D，则的值为 13已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=
3、x23x若方程f（x）+xt=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为 14在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a0），直线l1：mxy2m+2=0与直线l2：x+my=0（mR）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是 二、解答题（共6小题，满分90分）15已知tan（）=（1）求tan的值；（2）求cos2的值16在四棱锥PABCD中，已知DCAB，DC=2AB，E为棱PD的中点（1）求证：AE平面PBC；（2）若PBPC，PBAB，求证：平面PAB平面PCD17如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的
4、射影为C，AOC=（1）试将表示的函数f（），并写出其定义域；（2）求函数f（）的值域18如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70方向，岛C在B的北偏东40方向，且A，B两岛间的距离为3海里（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置（注：小岛与轮船视为一点）19在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y20=0A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P（1）若MNl求直线MN的方程；求PMN的面积（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明20已知函
5、数f（x）=a|xb|+1，其中a，bR（1）若a0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2f（x）若a0，b=0，解不等式g（2x+1）g（x1）；若b=1，g（x）在0，2上的最大值为0，求a的取值范围2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1设集合A=1，2，B=（a+1，2），若AB=1，2，3，则实数a的值为2【考点】1D：并集及其运算【分析】由并集定义得a+1=3，由此能求出实数a的值【解答】解：集合A=1，2，B=（a+1，2），AB=1，2，3，a+1=3，解得实数
6、a的值2故答案为：22若向量=（2，1），=（4，x），且，则x的值为2【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，42x=0，解得x=2故答案为：23在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=120，则ABC的面积为【考点】HP：正弦定理【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案【解答】解：AB=2，AC=3，A=120，SABC=ABACsinA=故答案为：4函数f（x）=lg（2xx2）的定义域为（2，1）【考点】33：函数的定义域及其求法【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可【解答】解：函数f（x）=lg（2
7、xx2），2xx20，即x2+x20，解得2x1，函数f（x）的定义域为（2，1）故答案为：（2，1）5若指数函数f（x）=（a1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（1，2）【考点】48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域【分析】根据指数函数的图象和性质，列出不等式求出a的取值范围【解答】解：指数函数f（x）=（a1）x是R上的单调减函数，0a11，解得1a2；实数a的取值范围是（1，2）故答案为：（1，2）6已知直线xy=0与圆（x2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为4【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】先求出圆心为C（2，0），半径r=，再求出圆心C（2，0）到
8、直线xy=0的距离d=，从而弦AB的长|AB|=2，由此能求出结果【解答】解：圆（x2）2+y2=6的圆心为C（2，0），半径r=，圆心C（2，0）到直线xy=0的距离d=，直线xy=0与圆（x2）2+y2=6相交于A，B两点，弦AB的长|AB|=2=2=4故答案为：47已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为【考点】H7：余弦函数的图象；H2：正弦函数的图象【分析】由题意根据cosx=sinx，求得x的值，可得y的值，从而得到点P到x轴的距离为|y|的值【解答】解：两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，设点P的坐标为（x，y）
9、，由cosx=sinx，可得tanx=，x=k+，kZ，y=，点P到x轴的距离为|y|=，故答案为：8已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，则该长方体外接球的表面积为24【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，长方体的对角线AC1=2，长方体ABCDA1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，球的一条直径为AC1，可得半径R=，因此，该球的表面积为S=4R2=4
10、（）2=24故答案为：249如图，D，E分别是ABC的边AC，BC上的点，且=， =若=+（，R），则+的值为【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】=+=+=.，即可求得+【解答】解： =+=+=，则+=故答案为：10如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】六面体的体积为上下两个棱锥的体积和，根据体积公式化简即可得出答案【解答】解：设三棱锥O1DEF的高为h1，三棱锥ODEF的高为h2，则h1+h2=AA1=2，VODEF+V=+=SDE
11、F（h1+h2）=故答案为：11将函数f（x）=sinx（06）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】求出g（x）的解析式，利用对称中心得出，再代入周期公式得出答案【解答】解：g（x）=f（x）=sin（x）=sin（x），g（）=sin（）=0，即=k，kZ，=3k，又06，=3，f（x）的最小正周期为T=故答案为12在ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，B的平分线交AC于点D，则的值为【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由余弦定理求得cosA，可得=44=1
12、4，再由内角平分线定理，可得AD=，再由向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【解答】解：由余弦定理可得cosA=，可得=44=14，由BD为ABC的平分线，可得=2，AD=，即有=（）=（）=2=1614=故答案为：13已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x23x若方程f（x）+xt=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为1，1【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】求出f（x）的解析式，分离参数可得t=f（x）+x，作出g（x）=f（x）+x的函数图象，根据图象可得t=1【解答】解：当x0时，f（x）=f（x）=（x2+3x）=
13、x23x，由f（x）+xt=0得t=，令g（x）=，作出g（x）的函数图象如图所示：方程f（x）+xt=0恰有两个相异实根，即g（x）=t有两个实根，t=1或t=1故答案为：1，114在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a0），直线l1：mxy2m+2=0与直线l2：x+my=0（mR）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是2，1+【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】两直线方程联立，消去m，可得M的轨迹方程，再设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的又一轨迹方程，由两圆有公共点，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围【解答】解：由题
14、意，将m=代入l1：mxy2m+2=0，化简可得x2+y22x2y=0，即有M在以圆心C1（1，1），半径为的圆上，又点A（2a，0）（a0），设M（x，y），MA2+MO2=2a2+16，可得（x2a）2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2+y22ax+a28=0，可得M在以圆心C2（a，0），半径为2的圆上，由两圆相交可得|C1C2|3，即为3，解得2a1+故答案为：2，1+二、解答题（共6小题，满分90分）15已知tan（）=（1）求tan的值；（2）求cos2的值【考点】GR：两角和与差的正切函数；GU：二倍角的正切【分析】（1）由已知利用两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值
15、即可计算得解（2）由tan=，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：（1）tan（）=解得：tan=（2）tan=，cos2=16在四棱锥PABCD中，已知DCAB，DC=2AB，E为棱PD的中点（1）求证：AE平面PBC；（2）若PBPC，PBAB，求证：平面PAB平面PCD【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）取PC中点E，连结EF、BF，推导出四边形ABFE是平行四边形，从而AEBF，由此能证明AE平面PBC（2）由DCAB，PBPC，PBAB，得PBCD，从而PB平面PCD，由此能证明平面PAB平面PCD【解答】证
16、明：（1）取PC中点E，连结EF、BF，在四棱锥PABCD中，DCAB，DC=2AB，E为棱PD的中点，EFCD，AB，EFAB，四边形ABFE是平行四边形，AEBF，AE平面PBC，BF平面PBC，AE平面PBC（2）DCAB，PBPC，PBAB，PBCD，PCCD=C，PB平面PCD，PB平面PAB，平面PAB平面PCD17如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，AOC=（1）试将表示的函数f（），并写出其定义域；（2）求函数f（）的值域【考点】9R：平面向量数量积的运算；36：函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）根据题意，用
17、表示出、，求出，利用数量积个数计算f（）并化简，写出的取值范围；（2）根据的取值范围即可求出函数f（）的值域【解答】解：（1）根据题意，|=1，AOC=，=（cos，sin），=（cos（+），sin（+），=（cos，0）；=（cos（+）cos，sin（+），f（）=coscos（+）cos+sinsin（+）=cos（+）cos2=cos2，其中（0，）；（2）由（1）知，f（）=cos2，（0，）时，2（0，），cos2（，1），cos2（，），函数f（）的值域为（，）18如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70方向，岛C在B的北偏东40方向，且A，B两岛间的距离
18、为3海里（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置（注：小岛与轮船视为一点）【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】（1）在ABC中使用正弦定理得出BC；（2）在ABC中求出AC，再在ACD中利用余弦定理求出AD，利用正弦定理求出DAC，得出结论【解答】解：（1）由题意可得ABC=105，BAC=45，AB=3，ACB=30，在ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=3（海里）（2）由题意可知CD=3，ACD=60，在ABC中，由余弦定理得AC=3，在ACD中，由余弦定理AD=3，由正弦定理得：，即，解得sinDA
19、C=，DAC=45，D船在A岛北偏东25方向上，距离A岛3海里处19在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y20=0A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P（1）若MNl求直线MN的方程；求PMN的面积（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】（1）求出直线MN的斜率k=kAB=，由此能求出直线MN的方程求出点O（0，0）到直线MN的距离d=1，从而MN=2=2，点O到直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=41=3，由此能求出PMN的面积SPMN（2）设M（x0，y0），则直线MN的斜率k=，直线OP
20、的斜率为，直线OP的方程为y=，联立，得点P（，），求出，推导出=0，从而PMOM，进而直线PM与圆O相切【解答】解：（1）圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y20=0A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，MNl，直线MN的斜率k=kAB=，直线MN的方程为：y=（x），整理，得：4x+3y5=0点O（0，0）到直线MN的距离d=1，MN=2=2=2，点O到直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=41=3，PMN的面积SPMN=3（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设M（x0，y0），则直线MN的斜率k=，OPMN，直线OP的斜率为，直线OP的方程为y=，联立，解得点P的坐标为（，），=（
21、，），=（x0，y0），=4=0，PMOM直线PM与圆O相切20已知函数f（x）=a|xb|+1，其中a，bR（1）若a0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2f（x）若a0，b=0，解不等式g（2x+1）g（x1）；若b=1，g（x）在0，2上的最大值为0，求a的取值范围【考点】52：函数零点的判定定理【分析】（1）判断f（x）的单调性和对称轴，得出零点个数和零点之和；（2）根据g（x）的奇偶性和单调性列出不等式得出x的范围；讨论a的范围，判断g（x）的单调性，根据最大值验证或列出不等式得出a的范围【解答】解：（1）f（x）=a|x1|+1=，a0，f（x）在（，
22、1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，又f（1）=1，f（x）在（，1）和（1，+）上各有1个零点，f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）的所有零点之和为2（2）b=0时，f（x）=a|x|+1，g（x）=x2a|x|1，g（x）=g（x），即g（x）是偶函数，a0，g（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，g（2x+1）g（x1），|2x+1|x1|，解得2x0原不等式的解集为2，0；b=1时，g（x）=x2a|x1|1=，若a=0，则g（x）=x21，则g（x）在0，2上单调递增，g（x）在0，2上的最大值为g（2）=3，不符合题意；若a0，则g（x）在0，1上单调递增，g（1）=0，当x1时，g（x）的对称轴为x=，g（x）在1，2上最大值为0，且g（1）=0，即a3若a0，则g（x）在1，2上单调递增，g（x）在1，2上的最大值为g（2）g（1）=0，不符合题意综上，a32017年8月10日