1、第二章 空间向量与立体几何2 空间向量的运算第10课时 空间向量的数量积基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律.2.会用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题，能判断向量的共线与垂直.基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1下列式子正确的是()Aa|a|aB(ab)2a2b2C(ab)ca(bc)D|ab|a|b|D解析：|ab|a|b|cosa，b|a|b|，故D正确2已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|()A.2 B.3C2 D3B解析：|2e1e2|24e
2、214e1e2e224411cos6013，|2e1e2|3，故选B.3空间四边形ABCD的各边和对角线长均为1，E是BC的中点，那么()A.AEBCAECDD.AEBC与AECD 不能比较大小C解析：如图所示，四面体ABCD是正四面体，AEBC，所以AEBC0.又AE与CD 夹角为钝角，所以AECD AECD.4已知空间中非零向量a、b，且|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|的值为()A.97 B97C.61 D61C解析：|2a3b|24a212ab9b24412|a|b|cos609961.|2a3b|61.5若向量c垂直于向量a和b，dab(，R，且0)，则()AcdBcdC
3、c既不垂直于d，也不平行于dD以上三种情况都有可能B解析：因为ca，cb，所以ca0，cb0，所以cdc(ab)cacb0，所以cd.6在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC3，则cosOA，BC的值为()A.12B.22C12D0D解析：因为OA BCOA(OC OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosOA，OC|OA|OB|cosOA，OB 又因为OA，OC OA，OB 3，|OB|OC|，所以OA BC0，所以OA BC，所以cosOA，BC0.7已知a，b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30 B45C60 D90
4、C解析：因为ABCD(ACCD DB)CD CD 21，所以cosAB，CD ABCD|AB|CD|12.所以AB与CD所成的角为60，即异面直线a与b所成的角为60.8已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAA1DAA160，BAD90，则AC1的长为()A10 B.85C9 D8B解析：|AC1|2AC1 2(AB AD AA1)2AB 2AD 2AA1 22AB AD 2AB AA1 2AD AA1|AB|2|AD|2|AA1|22|AB|AD|cos902|AB|AA1|cos602|AD|AA1|cos604232520245122351285，故
5、|AC1|85，即AC1的长为 85.故选B.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9如图，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M、N分别是AB、AD的中点，计算MN DC.14解析：MN DC 12BD DC12|BD|DC|cosBD，DC 12cos12014.10若空间向量a与b不共线，ab0，且ca(aaab)b，则向量a与c的夹角为.90解析：acaa(aaab)baa(aaab)baaaaa0，ac，a与c的夹角为90.11在空间四边形ABCD中，ABCD BCAD CABD.0解析：设AB b，AC c，AD d，则CD dc，BD db
6、，BCcb，原式b(dc)(cb)dc(db)0.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)已知空间四边形OABC,AOBBOCAOC，OAOBOC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.证明：如图，连接ON，设AOBBOCAOC，OAa，OB b，OC c，则|a|b|c|，又OG 12(OM ON)1212OA 12(OB OC)14(abc)，BC cb，所以OG BC 14(abc)(cb)14(acabbcb2c2bc)14(|a|2cos|a|2cos|a|2|a|2)0，所以OGBC.13(13分)正三棱柱(
7、底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长解：如图所示，设ABa，ACb，AA1 c.由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90，因为EFEAAA1 A1F12ABAA1 12AC12a12bc，所以EF2|EF|2EF 214a214b2c2212a12b12bc12ac1422142222214 22cos6011415.所以EF 5.能力提升14(5分)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为平面ADD1A1的中心，Q为平面DCC1D1的中心，则PB，QA1 夹角的余弦值为()A.66B 66
8、C.16D16D解析：PB12AD1 ABAB12(AD AA1)AB12AD 12AA1，QA1 QD1 D1A1 12BA1 A1D112(AA1 AB)AD 12ABAD 12AA1，PBQA1 12AB 212AD 214AA1 21，PB 2AB 214AD 214AA1 26，QA1 214AB 2AD 214AA1 26，cosPB，QA1 PBQA1|PB|QA1|16.故选D.15(15分)已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角解：如图所示BA1 BABB1，ACABBC，BA1 AC(BABB1)(ABBC)BAABBABCBB1 ABBB1 BC.ABBC，BB1AB，BB1BC，ABBC0，BB1 AB0，BB1 BC0.BA1 ACa2.又BA1 AC|BA1|AC|cos BA1，AC，cos BA1，AC a22a 2a12，BA1，AC 120.异面直线BA1与AC所成的角为60.谢谢观赏！Thanks!