1、第八节直线与圆锥曲线的综合问题授课提示：对应学生用书第171页基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判定代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无交点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点2.弦长公式设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|或|AB| |y1y2|直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系(1)直线与椭圆相交有
2、两个交点相切有一个公共点(2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行直线与双曲线相切时，只有一个公共点(3)直线与抛物线相交，当直线平行对称轴时，只有一个公共点，当直线与对称轴不平行，有两个公共点直线与抛物线相切时，只有一个公共点四基自测1(基础点：直线与抛物线的关系)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD答案：C2(基础点：直线截椭圆的弦长)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B C. D.答案：C3(基础点：椭圆的焦点三角形)已知F1，
3、F2是椭圆16x225y21 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_答案：644(基础点：双曲线的通径)F是双曲线C：x21的右焦点，过F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，则|AB|_答案：6第一课时最值、范围、证明问题授课提示：对应学生用书第172页考点一弦及弦长问题例(1)过椭圆1的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|2，则直线AB的方程为()Axy30Bxy30C.xy30 D.xy30解析由题意知，椭圆1的右焦点为F(3，0)，设直线AB的方程为xty3，代入椭圆方程1中得(t24)y26ty30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2
4、，y1y2，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2，所以|AB|2，解得t22，所以t，所以直线AB的方程为xy3，即xy30.选D.答案D(2)(2020沈阳监测)已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则y1y22，又点A，B在抛物线y24x上，所以两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，则2，即直线AB的斜率k2，所以直线AB的方程为y12(x1)，即2xy10.答案2xy10破题技法处理弦的问题，一般是联立方程组，结合根与系数的关系，用直线斜率或纵截距作为主元，注意斜率不存在
5、的情况如果涉及弦的中点与斜率问题，往往用点差法：点差法的基本步骤是设点(即设出弦的端点坐标)代入(即代入曲线方程)作差(即两式相减，求出斜率)，建立关系已知双曲线x21，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A、B两点，且点P是线段的中点解析：假设可作直线L，设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x22，y1y22，kAB2，此时AB的方程为y12(x1)，即y2x1，由得x22x0，440，无解，故不存在这样的直线考点二证明几何结论问题例(2018高考全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与
6、C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解析(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的
7、倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.破题技法圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E
8、的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解析：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而得ab，c2b，故e.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)可知a25b2，所以0，故MNAB.考点三最值与范围问题例(2020安徽知名示范高中联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin ycos 10相切(为常数)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求的最大值解析(1)由题
9、意，得解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)得F1(1，0)，F2(1，0)若直线l的斜率不存在，则直线lx轴，直线l的方程为x1，不妨记M，N，故.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由消去y得，(12k2)x24k2x2k220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又(x11，y1)，(x21，y2)，则(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k21k2，由k20，可得.综上，的最大值为.破题技法最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解
10、析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)已知点A，B分别为椭圆E：1(ab0)的左、右顶点，点P(0，2)，直线BP交E于点Q，且ABP是等腰直角三角形(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围解析：(1)由ABP是等腰直角三角形，知a2，B(2，0)设Q(x0，y0)，由，得x0，y0，代入椭圆方程，解得b21，椭圆E的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率存在，设方程为ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y，得(14k2)x216kx120，则x1x2，x1x2.由直线l与E有两个不同的交点，得0，则(16k)2412(14k2)0，解得k2.由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则0，即x1x2y1y20，则x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24.联立可知k24，解得2k或k2，故直线l斜率的取值范围为.