1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二节直线的位置关系与距离公式授课提示：对应学生用书第153页基础梳理三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|点到直线的距离P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为dd两平行线间的距离直线AxByC10到直线AxByC20的距离为dd1点到直线的距离公式(1)直线方程为一般式(2)公式中分母与点无关(3)分子与点及直线方程都有关2两平行直线间的距离(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离四基自测1(基础点：点到直线的距离)点(1，1)到直线xy10的距离是()A.BC. D
2、.答案：D2(基础点：直线的交点)直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_答案：3(基础点：两平行线间的距离)已知两平行线l1：2x3y6，l2：2x3y10，则l1与l2间距离为_答案：4(易错点：点到直线距离的应用)已知点A(3，2)和B(1，4)到直线axy10的距离相等，则a的值为_答案：4或授课提示：对应学生用书第154页考点一直线的交点及应用挖掘直线交点的应用/ 自主练透例(1)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_解析法一：由方程组得x0，y2，即P(0，2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方
3、程为y2x，即4x3y60.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为ll3，所以3(1)(4)(2)0，所以11，所以直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.答案4x3y60(2)过点M(0，1)作直线，使它被两条直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为_解析过点M且与x轴垂直的直线是x0，它和直线l1，l2的交点分别是，(0，8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为ykx1，其图像与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有由解得xA，由解得xB.因为点M平分线段AB，所
4、以xAxB2xM，即0，解得k.所以所求直线为yx1，即x4y40.答案x4y40(3)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，求直线l的方程解析法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，4)，B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组得A，解方程组得B.由|AB|5，得52.解之，得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求直线l的方程为x3或y1.法二：如图所示，作直线l1：xy10，l2：xy60.l1与x、y轴
5、的交点A(1，0)、B(0，1)，l2与x、y轴交点C(6，0)、D(0，6)所以|BD|5，|AC|5.过点(3，1)与l1、l2截得的线段长为5.即平行x轴或y轴所以所求直线方程为x3或y1.破题技法1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点2求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：先求出两直线的交点坐标；结合题设中的其他条件，写出直线方程；将直线方程化为一般式(2)直线系法：设过两直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0.利用题设条件，求的值，得出直线方程验证A2xB2
6、yC20是否符合题意(3)数形结合法，求直线截得的线段长考点二距离问题挖掘距离问题的应用/ 自主练透例(1)(2020昆明模拟)点P到点A(1，0)和直线x1的距离相等，且P到直线yx的距离等于，这样的点P共有()A1个B2个C3个 D.4个解析设点P(x，y)，由题意知 |x1|，且，所以即或解得或解得因此，这样的点P共有3个答案C(2)已知两条平行直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10间的距离为，则直线l1的方程为_解析因为l1l2，所以，所以或当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，所以，解得n22或18.故所求直线l1的方程为2x4y110或2x4y9
7、0.当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，所以，解得n18或22.故所求直线l1的方程为2x4y90或2x4y110.答案2x4y90或2x4y110破题技法应用点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式时应注意：(1)用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；(2)两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同；(3)两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化考点三对称问题挖掘1求对称点、直线/ 自主练透例1已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(
8、3)直线l关于点A的对称直线l的方程解析(1)设对称点A的坐标为(m，n)，由已知可得解得即A.(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于l的对称点必在m上，设对称点为B(a，b)，则由得B.设m与l的交点为N，由得N(4，3)设直线m上任意一点的坐标为(x，y)，由两点式得直线m的方程为，即9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设直线l关于点A的对称直线l上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(1，2)的对称
9、点为P(2x，4y)点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.挖掘2利用对称性求解直线方程/ 互动探究例2(1)(2020淮安模拟)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_解析设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)所以所求直线的方程为，即6xy60.答案6xy60(2)已知三角形的一个顶点A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：xy10和l2：x10，则BC边所在直线的方程为_解析A不在这两条角平
10、分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上设A1(x1，y1)，则有解得所以A1(0，3)同理设A2(x2，y2)，易求得A2(2，1)所以BC边所在直线方程为2xy30.答案2xy30(3)已知直线l：x2y80和两点A(2，0)，B(2，4)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小解析设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2，8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解方程组得故所求
11、的点P的坐标为(2，3)破题技法有关对称问题的规律方法方法解读中心对称点关于点点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，利用中点直线关于点l1关于A对称的直线：取Bl1，求B关于A的对称点B，利用斜率相等，求点斜式轴对称点关于直线对称点A关于l1的对称点A，利用AA的中点在l1上，且AAl，求A点线l1关于线l对称l1lA利用Al2，且取Bl1，求B关于l的对称点B，由A和B求方程若l1l利用平行线l1与l，l与l2之间的距离相等；或者利用斜率相等考点四点、线及位置关系、距离的应用挖掘构造距离求最值(创新问题)/ 互动探究例(1)设x0，y0，满足2xy1，则x 的最小值为()A.
12、BC1D.解析因为x，yR，满足2xy1，设zx，其可表示为直线2xy1在第一象限的点P(x，y)到y轴的距离d与到原点的距离|PO|的和设原点关于直线2xy1的对称点O1(m，n)，则由解得所以O1.由对称性可得|PO1|PO|，所以z|PO1|d，故PO1y轴时z最小故当且仅当x，y时zx取最小值，故选A.答案A(2)已知实数x满足|2x1|2x5|6，则x的取值范围是_解析由|2x1|2x5|6可得|x()|x|3，它表示数轴上的动点x到定点与的距离之和为3.又定点与之间的距离恰好为3，故有x，答案，破题技法本解法利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点之间的距离问题，使解题过程直观快捷(
13、3)设a0，若f(x)(xR)的最小值为10，则a_解析f(x)，它表示动点P(x，0)到点A(3a，a)与B(a，2a)的距离之和，即f(x)|PA|PB|.由已知条件可知：f(x)|PA|PB|的最小值为10.因为a0，所以点A，B在x轴的两侧，故对x轴上的动点P(x，0)，一定有|PA|PB|AB|，故|PA|PB|的最小值为|AB|.于是有|AB|10，即10，又a0，解得a2.答案2破题技法构造距离后，把已知条件转化为x轴上的动点到两定点的距离之和的最小值为10，便于顺利得到关于a的方程进行求解(4)求函数y 的最小值解析此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们注意到和分别可变形为和，便可分别看成是点(x，0)到另两点(1，1)和(3，2)的距离，即问题化为x轴上一动点(x，0)到另两定点(1，1)和(3，2)的距离之和的最小值结合图形(图略)，易得ymin.破题技法此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们往往对解析式通过变形赋予一定的几何意义，利用数到形的转变解决这类问题- 8 - 版权所有高考资源网