1、11导数11.1函数的平均变化率1.了解平均变化率的概念2.理解函数平均变化率的意义3.掌握求函数平均变化率的方法1函数的平均变化率的定义已知函数yf(x)在点xx0及其附近有定义，令xxx0；yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商称作函数yf(x)在区间x0，x0x的平均变化率2平均变化率的计算步骤(1)求自变量的改变量x(x0x)x0；(2)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(3)求.1如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A1 B1C2 D2解析：选B.1.2函数f(x)x21在x0到x0x之间的平均变化率为()A2x01 B2x0xC2x
2、0x(x)2 D(x)2x1解析：选B.yf(x0x)f(x0)(x0x)2x2x0x(x)2，所以2x0x.求平均变化率 求yf(x)2x21在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x01，x时平均变化率的值解函数f(x)2x21在区间x0，x0x上的平均变化率为：4x02x.当x01，x时，平均变化率为4125. 求函数平均变化率的注意点(1)若函数yf(x)为常数函数，则y0.(2)求点x0附近的平均变化率，要用的形式 已知函数f(x)3x1，计算f(x)在3到1之间和在1到1x之间的平均变化率解：因为x1(3)2，yf(1)f(3)3(1)13(3)16，所以3，即f(x)在3到1之间
3、的平均变化率为3.因为yf(1x)f(1)3(1x)1(311)3x，所以3，即f(x)在1到1x之间的平均变化率为3.平均变化率的比较已知函数f(x)3x2，计算当x01，2，3，x时平均变化率的值，并比较函数f(x)3x2在哪一点附近的平均变化率最大？解函数f(x)3x2在x0到x0x之间的平均变化率为2x0x，当x01，x时，平均变化率的值为，当x02，x时，平均变化率的值为，当x03，x时，平均变化率的值为，因为，所以函数f(x)3x2在x01附近的平均变化率最大函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度，此题中“函数在x3附近平均变化率的绝对值最大”说明在x1，2，
4、3这三点中，在x3附近函数的图象最为“陡峭” 函数f(x)2x25在x1附近的平均变化率_在x3附近的平均变化率(填“大于”“小于”或“等于”)解析：先求在x3附近的平均变化率，k12x12；再求在x1附近的平均变化率可得k22x4；因为k1k22x122x480，所以填“小于”答案：小于关于函数的平均变化率，应注意以下几点：(1)函数f(x)在x0及其附近处有定义(2)x是变量x在x0处的改变量，且x是x0附近的任意一点，即xxx00，但x可以为正，也可以为负(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若xxx0，则yf(x)f(x0)；若xx0x，则yf(x0)f(x)(4)在公式中，当x0
5、取定值，x取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当x取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的1函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，y()Af(x0x)Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)答案：D2函数f(x)5x3在区间a，b上的平均变化率为_解析：因为xba，yf(b)f(a)5(ba)，所以5.答案：53函数f(x)x21在2到2.5之间的平均变化率为_解析：因为x2.520.5，yf(2.5)f(2)2.52222.25，所以4.5.答案：4.5 A基础达标1在求平均变化率时，自变量的增量x满足()Ax0Bx0Cx0 Dx0答案：D2一个做
6、直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则此物体在区间0，0.001内的平均变化率接近()A0 B3C2 D32t答案：B3函数f(x)2x在x1附近(即从1到1x之间)的平均变化率是()A2x B2xC2 D(x)22解析：选C.yf(1x)f(1)2(1x)22x.所以2.4某物体的运动规律是ss(t)，则该物体在t到tt这段时间内的平均速度是()ABCD解析：选A.由平均速度的定义可知，物体在t到tt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比所以.5若函数y在区间1，a上的平均变化率为，则a()A1 B2C3 D4解析：选B.因为xa1，y1，所以，所以a2.6已知函
7、数y3，当x由2变到1.5时，函数的增量y_解析：yf(1.5)f(2)1.答案： 7已知函数yx3，当x1时，_解析：因为y(1x)313(x)33(x)23x，所以(x)23x3.答案：(x)23x38如图所示，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_解析：由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为：，结合图象可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4答案：x3，x49求y在x0到x0x之间的平均变化率(x00)解：因为yf(x0x)f(x0)，所以.10若函数yf
8、(x)x2x在2，2x(x0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围解：因为函数yf(x)在2，2x上的平均变化率为3x，所以由3x1，得x2.又因为x0，所以x0，即x的取值范围是(0，)B能力提升11函数yx22在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0的平均变化率为k2，则()Ak1k2Ck1k2 D不确定解析：选D.k12x0x，k22x0x.所以k1k22x，因为x的正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定12一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h2t22t，则：(1)前3 s内球的平均速度为_m/s；(2)在t2
9、，3这段时间内球的平均速度为_m/s.解析：(1)由题设知，t3 s，hh(3)h(0)24(m)，即平均速度为v8(m/s)(2)由题设知，t321(s)，hh(3)h(2)12(m)，即平均速度为v12(m/s)答案：(1)8(2)1213已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为，所以函数f(x)x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快14(选做题)求函数ysin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小解：在0到之间的平均变化率为；在到之间的平均变化率为.所以函数ysinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，因为2，故在0到之间的平均变化率较大