1、第三节函数的奇偶性与周期性授课提示：对应学生用书第16页基础梳理1函数的奇偶性奇偶性条件图像特点偶函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)关于y轴对称奇函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期1奇、偶函数的一个必要不充分条件奇、偶函数定义域的特点是关于
2、原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f(x)f(x)0或1(f(x)0)，则f(x)为奇函数，若f(x)f(x)0或1(f(x)0)，则f(x)为偶函数3奇偶性的六个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在
3、关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇4函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)5函数对称性问题的结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x
4、)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图像关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称四基自测1(基础点：函数奇偶性判断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1Byx3Cy Dyx|x|答案：D2(基础点：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则f(1)_答案：1e3(易错点：奇函数)(2018高考全国卷改编)设函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，则a_答案：14(基础点：奇函数图像对称性)函数f(x)的对称中心为_答案：(0，0)授课提示：对应学生用书第17页考点一函数奇偶性的判
5、断挖掘1判断具体函数的奇偶性/ 自主练透例1(1)已知函数f(x)3x，则f(x)()A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数解析xR，f(x)3x3xf(x)，f(x)为奇函数，又因y13x为增函数，y2为增函数，故y3x为增函数，故选B.答案B(2)函数f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析由，知x1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数答案C(3)函数f(x)，则f(x)为()A奇函数 B偶函数C既是奇函数，又是偶函数 D非奇非偶函数解析由得x1，f
6、(x)的定义域为1，1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数，故选C.答案C破题技法1.函数yf(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(x)才有意义2对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必具其一挖掘2判断非具体函数的奇偶性/ 互动探究例2(1)已知yf(x)满足f(x1)f(x1)2，则以下四个选项一定正确的是()Af(x1)1是偶函数Bf(x1)1是奇函数Cf(x1)1是偶函数 Df(x1)1是奇函数解析根据题中条件可知函数f(x)的图像关于点(1，1)中心对称，故f(x1)的
7、图像关于点(0，1)中心对称，则f(x1)1的图像关于点(0，0)中心对称，所以f(x1)1是奇函数故选D.答案D(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；
8、对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案C破题技法判定奇偶性的方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(2)图像法：(3)性质法：利用奇偶性的运算关系考点二函数的周期性及应用挖掘利用周期求值/ 互动探究例(1)(2018高考全国卷)已知(x)是定义域为(，)的奇函数，满足(1x)(1x)若(1)2，
9、则(1)(2)(3)(50)()A50B0C2D50解析(x)是奇函数，(x)(x)，(1x)(x1)由(1x)(1x)，(x1)(x1)，(x2)(x)，(x4)(x2)(x)(x)，函数(x)是周期为4的周期函数由(x)为奇函数得(0)0.又(1x)(1x)，(x)的图像关于直线x1对称，(2)(0)0，(2)0.又(1)2，(1)2，(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(0)20200，(1)(2)(3)(4)(49)(50)012(49)(50)(1)(2)202.故选C.答案C(2)已知函数yf(x)，满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)
10、，则F(3)()A. B C D解析yf(x)为偶函数，则yf(x)为偶函数，关于x0对称，yf(x2)为偶函数，关于x2对称，T4，F(x)f(x)f(x)2f(x)，F(3)2f(3)而f(3)f(41)f(1)f(1)，F(3).故选B.答案B破题技法1.若函数的最小正周期为T，在图像上表现为每隔T单位，图像相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(xT)f(x)2求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数yf(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么T就是函数yf(x)的周期非零常数T容易确定的函数递推法采用递推的思路进
11、行，再结合定义确定周期如：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(xa)与f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(xa)f(xa)，令xat，则xta，则f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bxa)f(bxc)型关系式考点三函数性质的综合应用挖掘1利用性质求解析式/ 互动探究例1(1)(2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1解析当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)e
12、x1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选D.答案D(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则函数f(x)在1，2上的解析式是_解析令x1，0，则x0，1，结合题意可得f(x)f(x)log2(x1)，令x1，2，则x21，0，故f(x)log2(x2)1log2(3x)故函数f(x)在1，2上的解析式是f(x)log2(3x)答案f(x)log2(3x)挖掘2求函数值/ 互动探究例2(1)对任意的实数x都有f(x2)f(x)2f(1)，若yf(x1)的图像关于x1对称，且f(0)2，则f(2 019)f(2 020)()A0B2C3
13、 D4解析yf(x1)的图像关于x1对称，则函数yf(x)的图像关于x0对称，函数f(x)是偶函数，对于f(x2)f(x)2f(1)，令x1，则f(12)f(1)2f(1)，则f(1)f(1)2f(1)0，即f(1)0，则f(x2)f(x)2f(1)0，即f(x2)f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)2，则f(2 019)f(2 020)f(1)f(0)022，故选B.答案B(2)已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0C1 D2解析设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11
14、，所以f(a)0.故选B.答案B挖掘3求参数/ 互动探究例3(1)设函数f(x)exaex(a为常数)若f(x)为奇函数，则a_解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，exaexexaex，(1a)ex(1a)ex0，a1.答案1(2)(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_解析设x0，则x0.当x0时，f(x)eax，f(x)eax.f(x)是奇函数，f(x)f(x)eax，f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a.又f(ln 2)8，2a8，a3.答案3(3)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_解析由题意得f(x)xln
15、(x)f(x)xln(x)，所以x，解得a1.答案1挖掘4解不等式、比较大小/ 互动探究例4(1)(2017高考全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2B1，1C0，4 D1，3解析函数f(x)在(，)单调递减，且f(1)1，f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，1x3，故选D.答案D(2)已知函数f(x)|x|(10x10x)，不等式f(12x)f(3)0的解集为()A(，2) B(2，)C(，1) D(1，)解析f(x)|x|(10x10x)f(x)，f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x(10x10x)为增
16、函数，f(x)在R上是递增函数，故f(12x)f(3)0f(12x)f(3)f(3)，所以12x3，解得x2，故选A.答案A(3)已知定义在R上的奇函数满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)，f(x8)f(x)，f(x)的周期为8，f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)f(14)f(1)f(1)，又奇函数f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在区间2，2上是增函数，f(25)f(80)
17、f(11)，故选D.答案D破题技法1.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反2对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题将例4(2)的函数变为f(x)10x10x，求不等式f(12x)f(3)0的解集解析：f(x)10x10x，f(x)为偶函数，当x(0，)，f(x)为增函数，原不等式f(12x)f(3)，得|12x|3，得12x3或12x3，x2或x1.