1、第六节简单的三角恒等变形授课提示：对应学生用书第66页基础梳理1升幂公式(1)1cos 22cos2(2)1cos 22sin2(说明：从左到右是升幂，从右到左为降幂)2辅助角公式asin bcos sin().3半角公式(不要求记忆)(1)sin .(2)cos .(3)tan .重要的运算变形公式sin()sin()2sin cos sin sin 2sin cos .sin()sin()2cos sin sin sin 2cos sin .cos()cos()2cos cos cos cos 2coscos .cos()cos()2sin sin cos cos 2sin sin.tan
2、 .四基自测1(基础点：辅助角公式)函数f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期为()AB.C2 D答案：A2(易错点：半角函数值符号)已知cos ，3，那么sin ()A.BC.D答案：D3(基础点：辅助角公式)f(x)sin(x3)3cos x的最小值为_答案：4(易错点：公式的变形)已知(0，)，2sin cos 1，则tan_答案：授课提示：对应学生用书第66页考点一利用变换的“主角”变角变例(1)若0，0，cos，sin，则cos()A.BC. D解析因为0，所以，又cos，所以sin .因为0，所以，又sin，所以cos ，所以coscoscoscossinsin.故选C.答案
3、C(2)若(0，)，且sin 2cos 2，则tan()A. BC. D解析法一：由已知得cos 1sin .代入sin2cos21，得sin2(1sin )21，整理得sin2sin 0，解得sin 0或sin .因为(0，)，所以sin ，故cos 1.所以tan.故选A.法二：因为sin 2sincos，cos 12sin2，所以sin 2cos 2可以化为2sin cos2(12sin2)2，化简可得2sincos4sin2.因为(0，)，所以(0，)，所以sin0.所以式可化为2cos4sin，即tan .故选A.答案A破题技法1.给值求值问题的主要思路是抓住“角”进行变形，即用已知
4、角表示未知角有两种思路：(1)2()，即先求tan()tan()(2)2先求tan 2 tan(2)2从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点对于一个角，我们要分析它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们之间的关系用已知角表示所求角如2()()，()()，同时注意角的范围3注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”，构造适合公式的形式考点二利用式子的“结构”变形变挖掘1化简与求值/ 互动探究例1(1)化简的结果是()Acos 1Bcos 1C.cos 1 Dcos 1解析原式 cos 1.答案C(2)_解析4sin .答案
5、4sin (3)若f()2tan ，求f()的值解析f()2tan ，f8.挖掘2化简与证明/ 互动探究例2(1)设(0，)，(0，)，且tan ，则()A3B2C3D2解析法一：(化切为弦)因为tan ，所以，即sin cos cos cos sin ，整理得sin()cos ，即sin()sin()，因为(0，)，(0，)，所以(，)，(0，)，因为函数ysin x在(，)上单调递增，所以，整理得2.故选B.法二：(化弦为切)因为，所以tan tan()tan()因为(0，)，(0，)，(，)，又函数ytan x在(0，)上单调递增，所以，即2，故选B.答案B(2)下列等式关系在使其有意义
6、的条件下，恒成立的有_(sin2cos 2)21sin 4；tan；1cos 22 sin2 2；tan 2解析(sin 2cos 2)2sin22cos222sin 2cos 21sin 4(正确)tan(错)1cos 22sin22cos22sin22(正确)tan (错)答案破题技法1.已知是“和”式，所求是“积”式，要经过“平方”为桥梁进行变形cos cos cos2cos2 2cos cos ，sin sin sin2sin22sin sin .2三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直
7、观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质(对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等)这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方法，常用的变换有：(1)对于含有“sin2x”型，利用sin2x.(2)对于含有“cos2x”型，利用cos2x.(3)对于含有“sin xcos x”型，利用sin xcos xsin 2x.(4)对于含有“tan x”型，利用tan x.逐步变为形如“yasin xbcos x”，利用辅助角公式变为ysin(x)型考点三利用三角恒等变换，研究三角函数性质挖掘三角函数式化简与性质/互动探究例已知函数f(x)2sin x(sin xcos x)a的图像
8、经过点(，1)，aR.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调递增区间；(2)若当x0，时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解析(1)f(x)2sin x(sin xcos x)a2sin2x2sin xcos xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a.因为函数f(x)的图像经过点(，1)，所以sin1a1，解得a1.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)由(1)知f(x)sin(2x)，因为x0，所以2x，当2x，即x0时，f(x)min1.因为f(x)m恒成立，所以mf(x)min，即m1.所以实数m的取值范围是(，1破题技
9、法一般地先将yf(x)化为yasin xbcos x的形式，再用辅助角公式化为yAsin(x)的形式，最后借助yAsin(x)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题(2020陕西西安一中月考)已知函数f(x)2sin()cos()sin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解析：(1)f(x)2sin()cos()sin(x)cos xsin x2sin(x)，于是T2.故f(x)的最小正周期为2.(2)将函数f(x)2sin(x)的图像向右平移个单位长度，得g(x)2sin(x)2sin(x)的图像，令tx，因为x0，所以t，易知函数h(t)2sin t在，上单调递增，在，上单调递减，所以函数h(t)在，上的最小值为h()2sin1，即g(x)在区间0，上的最小值为1，又h(t)的最大值为h()2sin2，所以g(x)在区间0，上的最大值为2.