1、河北省保定市高阳中学2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为( )AiBiC1D1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z，可得它的虚部解答：解：复数z=1i，故该复数的虚部为1，故选：C点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2若P=，Q=（a0），则P，Q的大小关系为( )APQB
2、P=QCPQD由a的取值确定考点：不等式比较大小 专题：不等式的解法及应用分析：平方作差即可比较出大小解答：解：a0，a2+7a+12a2+7a+10Q2P2=（）=0PQ故选：C点评：本题考查了平方作差可比较两个数的大小方法，属于基础题3以下各点坐标与点不同的是( )A（5，）BCD考点：极坐标刻画点的位置 专题：综合题；坐标系和参数方程分析：利用排除法，结合终边相同的角，从而得出正确选项解答：解：点M的极坐标为（5，），由于和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为（5，），排除D；再根据和或是终边在反向延长线的角，故点M的坐标也可表示为（5，），（5，），排除B，C故选：A点评：本题考查点
3、的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题4有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中( )A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确考点：演绎推理的基本方法 专题：阅读型分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论解答：解：
4、大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论5已知是复数z的共轭复数，z+z=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线考点：轨迹方程 专题：综合题；数系的扩充和复数分析：设
5、出复数z的代数形式，代入z+z=0，整理后即可得到答案解答：解：设z=x+yi（x，yR），则，代入z+z=0，得：，即x2+y2+2x=0整理得：（x+1）2+y2=1复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆故选：A点评：本题考查了轨迹方程，考查了复数模的求法及复数相等的条件，是中档题6若函数f（x）=，则f（x）是( )A仅有最小值的奇函数B仅有最大值的偶函数C既有最大值又有最小值的偶函数D非奇非偶函数考点：简单复合函数的导数 专题：导数的概念及应用分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可解答：解：函数f（x）=，f（x）=
6、cos2x+cosx=2cos2x+cosx1=，当cosx=时，f（x）取得最小值；当cosx=1时，f（x）取得最大值2且f（x）=f（x）即f（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数故选C点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键7用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n12（2n1）（nN+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是( )A2k+1B2k+3C2（2k+1）D2（2k+3）考点：数学归纳法 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k
7、+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求解答：解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）（k+k）=（k+1）（k+2）（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求8以下命题正确命题的个数为( )（1）化极坐标方程2cos=0为直角坐标方程为x2+y2=0或y=1（2）集合A=x|x+1|1，B=，则AB（3）若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0（a，
8、b），则的值为2f（x0）（4）若曲线y=ex+a与直线y=x相切，则a的值为0（5）将点P（2，2）变换为P（6，1）的伸缩变换公式为A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：由极坐标方程2cos=0可得=0或cos1=0，化为直角坐标方程，可判断（1）；解绝对值不等式求出A，求函数的定义域，求出B，可判断（2）；根据导数的定义，求出的值，可判断（3）；利用导数法，求出满足条件的a值，可判断（4）；根据伸缩变换公式，可判断（5）解答：解：由极坐标方程2cos=0可得=0或cos1=0，即x2+y2=0或x=1，故（1）错误；解|x+1|1得：A=（2，0），由2xx20
9、得，B=0，2，则AB，故（2）错误；若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0（a，b），则=f（x0），故=2f（x0），故（3）正确；y=ex+a的导数y=ex，若曲线y=ex+a与直线y=x相切，则切点坐标为（0，0），即y=ex+a的图象经过原点，故a=1，故（4）错误；将点P（2，2）变换为P（6，1）的伸缩变换公式为，故（5）错误故正确的命题个数为1个，故选：A点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，难度中档9下列积分值等于1的是( )AxdxB（cosx）dxCdxDdx考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据积分公式直接进行计算即可解答：解：x
10、dx=，（cosx）dx=sinx2，dx表式以原点为圆心以2为半径的圆的面积的一半，故dx=4=2，=lnx=1故选：D点评：本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础10给出下列四个命题：f（x）=x33x2是增函数，无极值f（x）=x33x2在（，2）上没有最大值由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积是函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0垂直的切线，则实数a的取值范围是其中正确命题的个数为( )A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：分析函数f（x）=x33x2的图象和性质，可判断；求出曲线y=x，y=x2
11、所围成图形的面积，可判断；求出函数f（x）=lnx+ax导函数的范围，结合与直线2xy=0垂直的切线斜率为，求出实数a的取值范围，可判断解答：解：若f（x）=x33x2，则f（x）=3x26x，当x（0，2）时，f（x）0，函数为减函数，当x（，0）或（2，+）时，f（x）0，函数为增函数，故当x=0时，函数取极大值，当x=2时，函数取极小值，故错误；错误；由曲线y=x，y=x2所围成图形的面积S=01（xx2）dx=（x2x3）|01=，故正确；函数f（x）=lnx+ax，则f（x）=+aa，若函数f（x）存在与直线2xy=0垂直的切线，则a，则实数a的取值范围是，故正确；故正确的命题的个数
12、是2个，故选：B点评：考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档11已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），则P60的坐标为( )A（3，8）B（4，7）C（4，8）D（5，7）考点：数列的应用 专题：计算题分析：设P（x，y），分别讨论当x+y=2，3，4时各有几个点，便可知当x+y=n+1时，第n行有n个点，便可得出当x+y=11时，已经有55个点，便可求得P60的坐标解答：
13、解：设P（x，y）P1（1，1），x+y=2，第1行，1个点；P2（1，2），P3（2，1），x+y=3，第2行，2个点；P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），x+y=4，第3行，3个点；1个点+2个点+3个点+10个点=55个点P55为第55个点，x+y=11，第10行，第10个点，P55（10，1），P56（1，11），P57（2，10），P58（3，9），P59（4，8），P60（5，7）P60的坐标为（5， 7），故选D点评：本题表面上是考查点的排列规律，实际上是考查等差数列的性质，解题时注意转化思想的运用，考查了学生的计算能力和观察能力，同学们在平常要多加练习，属于中档题1
14、2已知函数f（x）=a（x）2lnx（aR），g（x）=，若至少存在一个x01，e，使f（x0）g（x0）成立，则实数a的范围为( )A，+）B（0，+）C0，+）D（G（x），+）考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：由题意，不等式f（x）g（x）在1，e上有解，即在1，e上有解，令h（x）=，求出h（x）的导数，由此利用导数性质能求出a的取值范围解答：解：由题意，不等式f（x）g（x）在1，e上有解，ax2lnx，即在1，e上有解，令h（x）=，则h（x）=，1xe，h（x）0，h（1）=0，a0a的取值范围是（0，+）故选：B点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单
15、调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=1时有极值0，则m+n=11考点：函数在某点取得极值的条件 专题：计算题分析：对函数进行求导，根据函数f（x）在x=1有极值0，可以得到f（1）=0，f（1）=0，代入求解即可解答：解：f（x）=x3+3mx2+nx+m2f（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f（x）=3x2+6x+3=3（x+1）20函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：11点评：本题主要考查函数
16、在某点取得极值的性质：若函数在取得极值f（x0）=0反之结论不成立，即函数有f（x0）=0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题14已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1）处的切线方程是+2，f（1）+f（1）=3考点：导数的运算 分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f（1）的值，最后相加即可解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率15已知两曲线参数方程分别为 （0
17、）和（tR），它们的交点坐标为（1，）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：化参数方程为普通方程，联立即可求得交点坐标解答：解：把（0）利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程为+y2=1（y0），把（tR），消去参数t，化为直角坐标方程为y2=x 两方程联立可得x=1，y=交点坐标为（1，）故答案为：（1，）点评：本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，比较基础16若函数f（x）=x3+3x对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，则x（2，）考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质 专题：函数的性质
18、及应用分析：先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案解答：解：f（x）=（x）3+3（x）=（x3+3x）=f（x），f（x）是奇函数，又f（x）=3x2+30，f（x）单调递增，f（mx2）+f（x）0可化为f（mx2）f（x）=f（x），由f（x）递增知mx2x，即mx+x20，对任意的m2，2，f（mx2）+f（x）0恒成立，等价于对任意的m2，2，mx+x20恒成立，则，解得2x，故答案为：（2，）点评：本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，
19、考查学生灵活运用知识解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为，（为参数，r0）以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为写出圆心的极坐标，并求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程 专题：计算题分析：将直线和圆的方程化为直角坐标方程，利用直线和圆的位置关系求解解答：解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，圆心的直角坐标（，）极坐标直线l的极坐标方程为即为x+y1=0，圆心到直线的距离圆O上的点到直线的最大
20、距离为，解得点评：本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，考查点到直线距离公式等18已知函数f（x）=x2+alnx的图象与直线l：y=2x+c相切，切点的横坐标为1（1）求函数f（x）的表达式和直线l的方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若不等式f（x）2x+m对f（x）定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）求导数，利用导数的几何意义求直线方程（2）利用导数求函数的单调区间（3）将不等式转化为最值恒成立，然后利用导数求函数的最值解答：解：（1）因为，所以2=f（1）=2+
21、a，所以a=4所以f（x）=x24lnx所以f（1）=1，所以切点为（1，1），所以c=3所以直线l的方程为y=2x+3（2）因为f（x）的定义域为x（0，+）所以由得由得故函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为（3）令g（x）=f（x）2x，则得x2所以g（x）在（0，2上是减函数，在2，+）上是增函数g（x）min=g（2）=4ln2，所以mg（x）min=4ln2所以当f（x）2x+m在f（x）的定义域内恒成立时，实数m的取值范围是（，4ln2点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握函数的单调性、最值和极值与导数的关系19已知函数f（x）=alnx2ax+3（a0）（I）设a=1
22、，求函数f（x）的极值；（II）在（I）的条件下，若函数（其中f（x）为f（x）的导数）在区间（1，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系 专题：计算题分析：（I）先求函数的导函数f（x），再解不等式f（x）0，得函数的单调增区间，解不等式f（x）0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值（II）构造新函数g（x），把在区间（1，3）上不是单调函数，即函数g（x）的导函数在区间（1，3）不能恒为正或恒为负，从而转化为求导函数的函数值问题，利用导数列出不等式，最后解不等式求得实数m的取值范围解答：解：（）当a=1，f（x）=lnx+2x
23、+3（x0），f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+） ，f（x）的极小值是（），g（x）=x2+（4+2m）x1，g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g（0）=1， 即：故m的取值范围点评：本题考查了函数的定义域、单调性、极值，以及导数在其中的应用，由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法20在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=acos（a0），过点P（2，4）的直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点（）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（）若|PA|PB
24、|=|AB|2，求a的值考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化 专题：坐标系和参数方程分析：（）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值解答：解：（）曲线C的极坐标方程sin2=acos（a0），可化为2sin2=acos（a0），即y2=ax（a0）；直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t，化为普通方程是y=x2；（）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a0）中，得；设A、B两点对应的参数分别
25、为t1，t2，则；|PA|PB|=|AB|2，即；，解得：a=2，或a=8（舍去）；a的值为2点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再解答问题，是中档题21给出定义在（0，+）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2af（x），已知g（x）在x=1处取极值（1）确定函数h（x）的单调性；（2）求证：当1xe2时，恒有成立考点：利用导数研究函数的单调性 专题：综合题分析：（1）由题设，知g（x）=x2alnx，则由g（1）=0，知a=2于是，由此能确定h（x）的单调性（2）当1xe2时，0f（x）2，所以 2
26、f（x）0，欲证，只需证x2f（x）2+f（x），即证由此能够证明当1xe2时，解答：解：（1）由题设，g（x）=x2alnx，则由已知，g（1）=0，即2a=0a=2于是，则由，所以h（x）在（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数（2）当1xe2时，0lnx2，即0f（x）2，所以 2f（x）0欲证，只需证x2f（x）2+f（x），即证设，则当1xe2时，（x）0，所以（x）在区间（1，e2）上为增函数从而当1xe2时，（x）（1）=0，即，故点评：本题考查函数单调性的确定和不等式的证明，具体涉及到导数的性质和应用、函数的单调性、不等式的等价转化等基本知识综合性强，难度大，有一定的探索
27、性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答22已知函数（aR）（1）当a=1时，求f（x）在区间1，e上的最大值和最小值；（2）若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题分析：（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间1，e上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+）证g（x）0在区间（1，+）上恒成立即得证求出g（x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出a的范围即可解答：解（）当a=1时，对于x1
28、，e，有f（x）0，f（x）在区间1，e上为增函数，（）令，则g（x）的定义域为（0，+）在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）0在区间（1，+）上恒成立若，令g（x）=0，得极值点x1=1，当x2x1=1，即时，在（x2，+）上有g（x）0此时g（x）在区间（x2，+）上是增函数，并且在该区间上有g（x）（g（x2），+），不合题意；当x2x1=1，即a1时，同理可知，g（x）在区间（1，+）上，有g（x）（g（1），+），也不合题意；若，则有2a10，此时在区间（1，+）上恒有g（x）0从而g（x）在区间（1，+）上是减函数要使g（x）0在此区间上恒成立，只须满足由此求得a的范围是，综合可知，当a，时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方点评：考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力以及综合运用函数解决数学问题的能力