1、第三节三角函数的图像与性质授课提示：对应学生用书第56页基础梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0，2的图像上，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0，2的图像上，五个关键点是：(0，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图像定义域RR值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减2k，2k为减；2k，2k为增为增对称中心(k，0)对称轴xkxk3.周期函数(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
2、都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期1一个易混点正切函数ytan x的单调性只能说：在(k，k)上kZ为增函数，不能说为：在定义域上为增函数2一个易错点求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解，否则将出现错误3三角函数的对称与周期的关系(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期(2)正切曲线
3、相邻两对称中心之间的距离是半周期4关于周期的两个结论函数y|sin x|，y|cos x|，y|tan x|的周期为，函数ysin|x|，不是周期函数，ytan |x|不是周期函数四基自测1(基础点：正弦函数的单调性)函数ysin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在和上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在和上是增函数，在上是减函数答案：B2(基础点：正切函数的定义域)函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.答案：D3(易错点：三角函数的值域)f(x)cos 2x3cos x的最大值为_答案：44(基础点：三角函数大小比较)cos
4、23，sin 68，cos 97从小到大的顺序是_答案：cos 97cos 23sin 68授课提示：对应学生用书第57页考点一有关三角函数的定义域、值域、最值问题挖掘1有关三角函数的定义域/ 自主练透例1(1)函数ylg sin x 的定义域为_解析要使函数有意义，则有即解得(kZ)，所以2kx2k，kZ.所以函数的定义域为.答案(2)函数f(x)的定义域为_解析要使f(x)有意义，则有kxk或kxk(kZ)，kxk或kk.答案x|kxk或kxk，kZ破题技法求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图像来求解挖掘2利用单调性求最值/ 互动探究例2(1)函数
5、f(x)3sin在区间上的值域为()A.B.C. D解析当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.答案B(2)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值解析f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin，由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在区间上的最大值为.即sin在区间上的最大值为1.所以2m，即m.即m的最小值为.挖掘3换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究例3(2017高考全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_解析f(x)1cos2xcos xcos2xcos x1，因为x，
6、所以cos x 0，1，所以当cos x时，函数取得最大值1.答案1破题技法1.形如yAsin(x)或yAcos(x)，(A0)(xR)其最值都是当sin(x)1或cos(x)1时取得的A.2求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2 xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)对于(2)(3)类型，主要
7、采用换元法令tsin x或tcos x，进而将三角函数转化为关于t的函数形如yasin2xbsin xc，可设tsin x，将其转化为二次函数yat2btc(t1，1)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c，可设tsin xcos x，则t212sin xcos x，即sin xcos x(t21)，将其转化为二次函数ya(t21)btc(t，)换元时一定要注意新元的取值范围考点二三角函数的单调性挖掘1求三角函数的单调区间/ 互动探究例1已知函数f(x)cos 2x2sin2(x)，其中0，且f()1.(1)求的值；(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间解析(1)由已知
8、得f()2sin2()2cos21，整理得cos2.因为0，所以cos ，.(2)由(1)知，f(x)cos 2x2sin2(x)cos 2x1cos(2x)cos 2xsin 2x12sin(2x)1.易知函数f(x)的最小正周期T.令t2x，则函数f(x)可转化为y2sin t1.显然函数y2sin t1与ysin t的单调性相同，当函数ysin t单调递减时，2kt2k(kZ)，即2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)破题技法求三角函数单调区间的方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单
9、调性列不等式求解图像法画出三角函数的图像，结合图像求它的单调区间本例题中若求函数f(x)在，上的单调递减区间呢？解析：由本题可得，函数f(x)2sin(2x)1的单调递减区间为k，k(kZ)当k1时，函数f(x)的单调递减区间为，与给定区间的交集为，；当k0时，函数f(x)的单调递减区间为，与给定区间的交集为，所以函数f(x)在，上的单调递减区间为，和，挖掘2利用单调性比较大小/ 自主练透例2已知函数f(x)2sin(x)，设af()，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()AacbBcabCbac Dbca解析af()2sin，bf()2sin，cf()2sin2sin，因为ysin
10、 x在0，上单调递增，所以cab.答案B破题技法利用三角函数的单调性比较两个三角函数值的大小，关键是将这两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内将本例题中函数改为f(x)2cos(x)，则a，b，c的大小如何？解析：af()2cos，bf()2cos，cf()2cos0，abc.挖掘3利用单调性求参数/ 互动探究例3(1)(2018高考全国卷)若(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A.B.C. D解析(x)cos xsin xsin，当x，即x时，ysin单调
11、递增，ysin单调递减函数(x)在a，a是减函数，a，a，0a，a的最大值为.故选A.答案A(2)已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是()A. BC. D解析函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.答案D(3)若函数f(x)sin x(0)在0，上单调递增，在区间，上单调递减，则_解析法一：由于函数f(x)sin x(0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故，解得.法二：由题意，得f(x)maxf()sin 1.由已知并结合正弦函数图像可知，2k(kZ)，解得
12、6k(kZ)，所以当k0时，.答案破题技法已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解考点三三角函数的奇偶性、对称性、周期性挖掘1三角函数的周期性、奇偶性/ 互动探究例1(1)(2018高考全国卷)函数(x)的最小正周期为()A.B.C D2解析由已知得(x)sin xcos xsin 2x，所以(x)的最小正周期为T.故选C.答案C(2)(2
13、019高考全国卷)若x1，x2是函数f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则()A2 BC1 D解析由题意及函数ysin x的图像与性质可知，T，T，2.故选A.答案A(3)(2020银川模拟)函数f(x)3sin，(0，)，满足f(|x|)f(x)，则的值为()A. BC. D解析因为f(|x|)f(x)，所以函数f(x)3sin是偶函数，所以k，kZ，所以k，kZ，又因为(0，)，所以.答案C破题技法1.(1)利用周期函数的图像和定义求周期，发现周期大小与x的系数有关利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解(2)对称性求周期：两条
14、对称轴距离的最小值等于；两个对称中心距离的最小值等于；对称中心到对称轴距离的最小值等于.(3)特征点法求周期：两个最大值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于.由于最值点与函数图像的对称轴相对应，则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期2奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式故形如yAsin(x)成为奇函数，则k(kZ)；成为偶函数，则k(kZ)yAcos(x)成为奇函数，则k(kZ)；成为偶函数，则k(kZ)挖掘2三
15、角函数的对称性/ 互动探究例2(1)已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图像()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称解析函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.函数f(x)的对称轴为k，解得x2k(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标为k，解得x2k.对称中心为，当k1时为.答案B(2)若函数ycos(x)(N)的图像的一个对称中心是(，0)，则的最小值为()A1 B2C4 D8解析依题意得cos()0，则k，kZ，解得6k2，又N，所以的最小值为2，故选B.答案B(3)已知f(x)cos xsin 2x，下列结
16、论中正确的是()Af(x)既是偶函数又是周期函数Bf(x)的最大值小于1Cf(x)的图像关于点(，0)对称Df(x)的图像关于直线x对称解析对于选项A，由f(x)cos xsin 2x，得f(x)cos(x)sin 2(x)cos xsin 2xf(x)，所以函数f(x)是奇函数，又f(x2)cos(x2)sin 2(x2)cos xsin 2xf(x)，所以函数f(x)是周期函数所以f(x)既是奇函数又是周期函数，故A不正确对于选项B，因为|cos x|1，|sin 2x|1，且等号不能同时成立，所以无论x取什么值，f(x)cos xsin 2x的函数值均小于1，故B正确对于选项C，因为f(x)f(x)cos xsin 2xcos(x)sin 2(x)cos xsin 2xcos xsin 2x2cos xsin 2x，不能推出函数f(x)的图像关于点(，0)对称故C不正确对于选项D，因为f(2x)cos(2x)sin 2(2x)cos xsin 2xf(x)，所以f(x)的图像不关于直线x对称，故D不正确综上可得正确的结论是B.答案B破题技法对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断
