1、1.1命题及其关系11.1命题提出问题观察下列语句：(1)三角形的三个内角的和等于360.(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？(3)这是一棵大树呀！(4)实数的平方是正数(5)能被4整除的数一定能被2整除问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？提示：(1)(4)(5)问题2：你能判断它们的真假吗？提示：能，(5)真，(1)(4)为假导入新知命题化解疑难1判断一个语句是命题的两个要素：(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；(2)可以判断真假2命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可命题的判断例1判断下列语句是不是命题，并说明理由(1)是有
2、理数；(2)3x25；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2x70.解(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题(4)因为x2x720，所以“x2x70”是真的，故是命题类题通法判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是活学活用判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶
3、角相等吗？(4)x3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题(2)是陈述句，能判断真假，是命题(3)不是陈述句，不是命题(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假例2判断下列命题的真假，并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x4时，2x10；(3)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列解(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)是假命题，x4不满足2x10.(3)是真命题，x3或x7能得到(x3)(x7)0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a10，公比q1时，该数列为递减数列类题通法命题真假的判
4、定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法活学活用下列命题中真命题有()mx22x10是一元二次方程；抛物线yax22x1与x轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集A1个B2个 C3个 D4个解析：选A中当m0时，是一元一次方程；中当44a0时，抛物线与x轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集命题的结构形式例3将下列命题改写成“若p，则q”
5、的形式，并判断命题的真假(1)6是12和18的公约数；(2)当a1时，方程ax22x10有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当yx2时，y4，x2.解(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题(2)若a1，则方程ax22x10有两个不等实根是假命题(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题(4)已知x，y为非零自然数，若yx2，则y4，x2.是假命题类题通法(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，
6、有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一活学活用把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被2整除；(2)当(a1)2(b1)20时，ab1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除是真命题(2)若(a1)2(b1)20，则ab1.是真命题(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形是假命题(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行是假命题典例将命题“已知a，b为正数，当ab时，有”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论解根据题意，“若p
7、，则q”的形式为：已知a，b为正数，若ab，则.其中条件p：ab，结论q：.易错防范1易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中2任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子成功破障把命题“已知a，b为正数，当ab时，有log2alog2b”写成“若p，则q”的形式解：“若p，则q”的形式：已知a，b为正数，若ab，则log2alog2b.随堂即时演练1下列命题中是真命题的是()A若ab0，则a2b20B若ab，则acbcC若MNM，则NMD若MN，则MNM解析：选D
8、A项中，a0，b0时，a2b20不成立；B项中，c0时不成立；C项中，MNM说明MN.故选项A、B、C皆错误2对于向量a，b，c和实数，下列命题中，真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc解析：选Bab0，在a，b为非零向量时可得ab；a2b2可改写为|a|2|b|2，只能得出|a|b|；abac，可移项得a(bc)，不可两边同除以向量3命题“函数y2x1是增函数”的条件是_，结论是_答案：函数为y2x1该函数是增函数4下列命题：若xy1，则x，y互为倒数；二次函数的图象与x轴有公共点；平行四边形是梯形；若ab，则ab.其中真命题是
9、_(写出所有真命题的序号)解析：对于，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于，平行四边形不是梯形答案：5已知命题p：x22x21；命题q：0x4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围解：由x22x21，即x22x30，解得x1或x3.故命题p：x1或x3.又命题q：0x4，且命题p为真，命题q为假，则所以x1或x4.故满足条件的实数x的取值范围为(，14，)课时达标检测一、选择题1下列语句不是命题的有()若ab，bc，则ac；x2；34；函数yax(a0，且a1)在R上是增函数A0个B1个C2个 D3个解析：选C是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题2下列命题中
10、真命题的个数为()面积相等的三角形是全等三角形；若xy0，则|x|y|0；若ab，则acbc；矩形的对角线互相垂直A1 B2C3 D4解析：选A错；中x3，y0，则xy0，但|x|y|0，故错；正确；中矩形的对角线相等，但不一定互相垂直3命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A这个四边形的对角线互相平分B这个四边形的对角线互相垂直C这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D这个四边形是平行四边形解析：选C命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”4已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中，假命题是()A若
11、ab，则B若，则abC若a，b相交，则，相交D若，相交，则a，b相交解析：选D由已知a，b，若，相交，则a，b有可能异面5给出命题“方程x2ax10没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A4 B2C0 D3解析：选C方程无实根时，应满足a240.故a0时适合条件二、填空题6下列语句中是命题的有_，其中是真命题的有_(写出序号)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；大角所对的边大于小角所对的边；ABC中，若AB，则sin Asin B；求证方程x2x10无实根解析：疑问句没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；是假命题，0既不是正数也不是
12、负数；是假命题，没有考虑在同一个三角形内；是真命题；祈使句，不是命题答案：7命题“若a0，则二元一次不等式xay10表示直线xay10的右上方区域(包含边界)”的条件p是_，结论q是_它是_(填“真”或“假”)命题解析：a0时，设a1，把(0,0)代入xy10得10不成立，xy10表示直线的右上方区域，命题为真命题答案：a0二元一次不等式xay10表示直线xay10的右上方区域(包含边界)真8若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：ax22ax30不成立，ax22ax30恒成立当a0时，30恒成立；当a0时，则有解得3a0.综上，3a0.答案：3,0三、解答题9把
13、下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行解：(1)若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数它是真命题p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数(2)若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称它是真命题p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称(3)若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行它是假命题，这两个平面也可能相交p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行10已知A：5x1a，B：x1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x，则x1”由命题为真命题可知1，解得a4.若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x1，则x”由命题为真命题可知1，解得a4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a1，则有真命题“若x1，则x”
