1、 15函数 yAsin(x)的图象 第一课时 函数 yAsin(x)的图象(一)提出问题 问题 1：由 ysin x 的图象能得到 ysinx4 的图象吗？提示：能，向左平移4 个单位长度即可 问题 2：函数 ysin x，ysin 2x 和 ysin12x 的最小正周期分别是什么？提示：它们的最小正周期分别为 2，4.问题 3：ysin 2x 和 ysin 12的图象是否可以由 ysin x 的图象得到？提示：可以只要“压缩”或“拉伸”ysin x 的图象即可 问题 4：对于同一个 x，函数 y2sin x，ysin x，y12sin x 的函数值有什么关系？提示：y2sin x 的函数值是
2、 ysin x 的函数值的 2 倍，而 y12sin x 的函数值是 ysin x 的函数值的12倍 导入新知 1 对函数 ysin(x)，xR 的图象的影响 函数 ysin(x)，xR(其中 0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 0 时)或向右(当 0)对函数 ysin(x)的图象的影响 函数 ysin(x)，xR(其中 0 且 1)的图象，可以看作是把 ysin(x)的图象上所有点的横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 00)对函数 yAsin(x)的图象的影响 函数 yAsin(x)(A0 且 A1)的图象，可以看作是把 ysin(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(当 A1 时
3、)或缩短(当 0A0，0)的方法(1)先平移后伸缩：(2)先伸缩后平移：“五点法”作图 例 1 作出函数 y32sin13x3 在长度为一个周期的闭区间上的图象 解 列表：X13x3 0 2 32 2 x 52 4 112 7 y32sin13x3 0 32 0 32 0 描点画图(如图所示)类题通法 1“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数 yAsin(x)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象 2用“五点法”作函数 yAsin(x)图象的步骤 第一步：列表.x 0 2 32 2 x 2 32 2 y 0 A 0 A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点 第
4、三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象 活学活用 画出函数 y3sin2x3，xR 的简图 解：由 T22，得 T.(1)列表：2x3 取值为 0，2，32，2 得到对应的 x 与 y 的值如下表：x 6 12 3 712 56 2x3 0 2 32 2 3sin2x3 0 3 0 3 0(2)描点(3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示 函数图象的平移变换 例 2 为了得到函数 ysin2x6 的图象，可以将函数 ycos 2x 的图象()A向右平移6 个单位长度 B向左平移6 个单位长度 C向右平移3 个单位长度 D向左平移3 个单位长度 答案 C 类题通法 三角函数的平移变换问题的分
5、类及策略(1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先将解析式化简为 yAsin(x)的形式，即确定 A，的值，然后确定平移的方向和单位(2)确定函数 ysin x 的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出 A，的值 活学活用 1(全国乙卷)将函数 y2sin2x6 的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin2x4 By2sin2x3 Cy2sin2x4 Dy2sin2x3 答案：D 2设函数 f(x)cos x(0)，将 yf(x)的图象向右平移3 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于()A.13
6、 B3 C6 D9 答案：C 函数图象的伸缩变换 例 3(1)将函数 ysin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为()Ay2sin x By12sin x Cysin 2x Dysin 12x(2)如何由 ysin x 的图象得到函数 y3sin2x3 的图象？解(1)D 类题通法 三角函数图象伸缩变换的两种思路(1)yA1sin 1xyA2sin 1xyA2sin 2x.(2)yA1sin 1xyA1sin 2xyA2sin 2x.活学活用 把函数 ysin(x)(0，|)的图象向左平移6 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
7、(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为 ysin x，则()A2，6 B2，3 C12，6 D12，12 答案：B 6.平移变换中的误区 典例 把函数 ysin3x4 的图象向左平移3 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，则所得函数的解析式为()Aysin3x12 Bysin6x34 Cysin32x12 Dysin32x34 解 析 把 函 数 y sin 3x4的 图 象 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度，可 得 y sin3x3 4 的图象，即函数解析式为 ysin3x34，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，可得 ysin32x34的图象 答案
8、D 易错防范 1在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现 ysin3x3 4，得到 ysin32x12.从而误选 C.2在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对 x 的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现 ysin6x34等类似的错误答案 3图象的左右平移是针对 x 而言的图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的 1倍 成功破障 函数 ysin5x2 的图象向右平移4 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图象的函数解析式为()Aysin10 x34 Bysin10 x72 Cysin10 x
9、32 Dysin10 x74 答案：D 随堂即时演练 1将函数 ysin 2x 的图象向右平移2 个单位长度，所得图象对应的函数的是 ()A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 答案：A 2函数 ysin2x3 在区间2，上的简图是()答案：A 3将函数 ycos x 的图象向左平移(00，2 2 图象上每一点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，再向左平移3 个单位长度得到 ysin x 的图象，则函数 f(x)的单调递增区间为_ 答案：k12，k512，kZ 三、解答题 9已知函数 ysin2x4 1.(1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由 ysin
10、x 的图象怎样变换得到？解：(1)列表：2x4 0 2 32 2 x 8 8 38 58 78 y 1 2 1 0 1 描点，连线如图所示 将 ysin2x4 1 在8，78上的图象向左、向右平移(每次 个单位长度)，即可得到 ysin2x4 1 的图象 10已知函数 y3sin 2x 的图象 C1，问 C1需要经过怎样的变换得到函数 y3cos2x74的图象 C2，并且平移路程最短？解：法一：y3cos2x74 3sin2 2x74 3sin2x543sin2x58，可将 y3sin 2x 的图象 C1向右平移58 个单位长度可得 C2.法二：y3cos2x743sin2x54 3sin2x
11、54 2 3sin2x38，可将 y3sin 2x 的图象 C1向左平移38 个单位长度可得 C2.综上可知，平移路程最短的方法是向左平移38 个单位长度 11将函数 ylg x 的图象向左平移 1 个单位长度，可得函数 f(x)的图象；将函数 ycos2x6 的图象向左平移12个单位长度，可得函数 g(x)的图象(1)在同一直角坐标系中画出函数 f(x)和 g(x)的图象；(2)判断方程 f(x)g(x)解的个数 解：函数 ylg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数 f(x)lg(x1)的图象，即图象 C1；函数 ycos2x6 的图象向左平移12个单位长度，可得函数 g(x)cos2x12 6 cos 2x 的图象，即图象 C2.(1)画出图象 C1和 C2的图象如图 (2)由图象可知：两个图象共有 5 个交点 即方程 f(x)g(x)解的个数为 5.
