1、考点规范练13导数的概念及运算考点规范练A册第8页基础巩固组1.已知函数f(x)=+1,则的值为() A.-B.C.D.0答案:A解析:=-=-f(1)=-=-.2.(2015山东济宁模拟)已知f(x)=x(2 014+ln x),f(x0)=2 015,则x0=()A.e2B.1C.ln 2D.e答案:B解析:由题意可知f(x)=2 014+ln x+x=2 015+ln x.由f(x0)=2 015,得ln x0=0,解得x0=1.3.若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1
2、答案:A解析:由已知得y=2x+a,且切线斜率k=y|x=0=a=1.又切线过点(0,b),故0-b+1=0,得b=1.综上知a=1,b=1.4.已知奇函数y=f(x)在区间(-,0上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0答案:B解析:由函数y=f(x)为奇函数,在0,+)上,得f(x)=-x2+x,切点为(1,0).y=-2x+1,y|x=1=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.5.设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f(x),且f(x)是偶函数,则
3、曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3答案:B解析:f(x)=3x2+2ax+(a-3),又f(x)为偶函数,则a=0,所以f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3,故f(0)=-3,故所求的切线方程为y=-3x.6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()A.-8B.-6C.-1D.5答案:A解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),2=k+1,即k=1.y=3x2+a,又因直线y=kx+1与曲线相切于点A(1,2),k=3+a,即1=3+a,a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y
4、=x3+ax+b,可解得b=3,ab=(-2)3=-8.故选A.7.若函数f(x)=x3-f(-1)x2+x+5,则f(1)=.答案:6解析:因为f(x)=x3-f(-1)x2+x+5,所以f(x)=x2-2f(-1)x+1.将x=-1代入上式得f(-1)=1+2f(-1)+1,故f(-1)=-2.再令x=1,得f(1)=6.8.(2015江西九江模拟)已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则=.答案:-解析:对函数f(x)=xex求导可得f(x)=xex+x(ex)=ex(x+1),则在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f(1)=e1(1+1)=2e,
5、又直线与它垂直,则有=-.9.(2015河北邯郸二模)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于.答案:log2e解析:y=,k=,切线方程为y=(x-1),三角形面积为S=1log2e.10.(2015山东临沂一模)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(xR)的图像为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=x2-4x+3,则f(x)=(x-2)2-1-1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线C的其中一条切线的
6、斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得-1k0或k1,故由-1x2-4x+30.a=-1,f(-1)=-.12.已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A.B.C.D.导学号32470437答案:D解析:y=,y=-1,当且仅当ex=,即x=0时,“=”成立.又y0,-1y0.切线的倾斜角为,则-1tan 0.又0,),故选D.13.(2015浙江宁波四中月考)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)=(f(x).若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函
7、数.以下四个函数在上是凸函数的是(把你认为正确的序号都填上).f(x)=sin x+cos x;f(x)=ln x-2x;f(x)=-x3+2x-1;f(x)=xex.导学号32470438答案:解析:中,f(x)=cos x-sin x,f(x)=-sin x-cos x=-sin0),f(x)=-0在区间上恒成立,故中函数不是凸函数.14.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和是.导学号32470439答案:-2解析:y=xn(1-x),y=(xn)(1-x)+(1-x)xn=nxn-1(1-x)-xn.令f(x)=nxn-1(1-x
8、)-xn,可得f(2)=-n2n-1-2n=(-n-2)2n-1.又曲线在x=2处的点的纵坐标为-2n,切线方程为y+2n=(-n-2)2n-1(x-2).令x=0,得y=(n+1)2n,故an=(n+1)2n,即=2n.因此,数列的前n项和为=2n+1-2.15.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)f(2)=23+2-16=-6,点(2,-6)在曲线上.f(x)=(x3+
9、x-16)=3x2+1,在点(2,-6)处的切线的斜率k=f(2)=322+1=13.切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3+1,直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)+x0-16.又直线l过点(0,0),0=(3+1)(-x0)+x0-16.整理得=-8,x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3(-2)2+1=13,直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)切线与直线y=-+3垂直,斜率k=4.设切点为(x0,y0),则f(x0)=3+1=4,x0=1,切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.导学号32470440