1、第十章统计、统计案例第一讲随机抽样ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知识梳理知识点一总体、个体、样本、样本容量的概念统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体，构成总体的每个元素作为个体，从总体中抽取的_一部分个体_所组成的集合叫做样本，样本中个体的_数目_叫做样本容量知识点二简单随机抽样一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个_不放回_地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的_机会都相等_，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样最常用的简单随机抽样的方法有两种：_抽签法_和_随机数表法_.知识点三系统抽样当总体中的个体比较多且均
2、衡时，首先把总体分成均衡的若干部分，然后_按照预先定出的规则_，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本(1)先将总体的N个个体_编号_；(2)确定_分段间隔k_，对编号进行_分段_.当(n是样本容量)是整数时，取k；(3)在第1段用_简单随机抽样_确定第一个个体编号l(kk)；(4)按照一定的规则抽取样本通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号_(lk)_，再加k得到第3个个体编号_(l2k)_，依次进行下去，直到获取整个样本知识点四分层抽样一般地，在抽样时将总体分成互不交叉的层，然后按照_一定的比例_
3、，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样的应用范围：当总体是由_差异明显的几个部分_组成时，往往选用分层抽样的方法重要结论1不论哪种抽样方法， 总体中的每一个个体入样的概率都是相同的2系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段时间隔k的整数倍3分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比双基自测题组一走出误区1(多选题)下列结论中正确的是(AB)A简单随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取样本B系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样C要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学
4、生，这样对被剔除者不公平D抽签法中，先抽的人抽中的可能性大题组二走进教材2(P100A组T2)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，3549岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(B)A33,34,33B25,56,19C30,40,30D30,50,20解析因为12528095255619，所以抽取人数分别为25,56,19.3(P59T2)某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(D)A10B1
5、1C12D16解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D题组三考题再现4(2018课标全国)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_分层抽样_.解析因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样5(2019课标全国)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验若46
6、号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(C)A8号学生B200号学生C616号学生D815号学生解析将1 000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列an，由题意知a546，则ana5(n5)1010n4，nN*，易知只有C选项满足题意故选CKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一简单随机抽样自主练透例1 (1)(2019陕西模拟)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(A)A这次抽样可能采用的是简单随机抽样B这次抽样一定没有采用系统抽
7、样C这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率(2)(2019山西大同)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(A)A，B，C，D，(3)(2020山西大学附中诊断)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 1
8、2 23 43 56 77 35 78 90 56 42；84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04；32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号(D)A522B324C535D578解析(1)利用排除法求解这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为120，女生编号为2150，间隔为5
9、，依次抽取1号，6号，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A(2)在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.故选A(3)从第6行第6列开始向右依次读取3个数，依次得到的样本为436,535,577,348,522,578，故选D名师点拨 (1)简单随机抽样满足：抽取的个体数有限；逐个抽取；不放回抽取；等可能抽取(2)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况考点二系统抽样师生共研例2 (1)(2019甘肃张掖诊断)某
10、校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为_6_.(2)(2019湖北模拟)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为：001,002，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，分组后，在第一组采用简单随机抽样抽得的号码为003.这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为(A)A14B15C16D21解析(1)系统抽样的抽取间隔为6，则48676，则抽到的最小学号为6，故答案为6。(
11、2)由题意可知，将500名学生平均分成50组，每组10人，第k(kN*)组抽到的号码为10(k1)3.令35610(k1)3500(kN*)，解得37k50，则满足37k50的正整数k有14个，故第三考点被抽中的学生人数为14人故选A名师点拨 系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体(2)各个个体被抽到的机会均等(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k.如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样变式训练1(2020安徽黄山质检)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2
12、,3，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为(A)A27B26C25D24解析根据系统抽样的规则“等距离”时抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A考点三分层抽样多维探究角度1求某层入样的个体数例3 (1)(2019广西南宁、玉林、贵港等市联考)某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为5：4.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为_60_.(
13、2)(2019宁波一模)调查某高中1 000名学生的身高情况得下表，已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏矮男生的概率为0.12，若用分层抽样的方法，从这些学生中随机抽取50名，问应在偏高学生中抽取_11_名.偏矮正常偏高女生/人100273y男生/人x287z解析(1)学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数为300120180人，抽取的样本中有中级教师72人，设样本人数为n，则，解得n180，则抽取的高级教师与初级教师的人数为18072108，高级教师与初级教师的人数比为54，该样本中的高级教师人数为10860.故答案为60.(2)由题意可知x1 0000.
14、12120，所以yz220.所以偏高学生占学生总数的比例为，所以抽50名应抽偏高学生5011(人)角度2求总体或样本容量例4 (1)(2020湖南模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n(D)A9B10C12D13(2)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,2
15、1,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为_808_.解析(1)由分层抽样可得，解得n13.故选D(2)由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12212543101，故有，解得N808.故填808.名师点拨 进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层所抽取的个体数之比_.变式训练2(1)(角度1)(2019广东广州模拟)某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为234，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n(B)A96B72C48D36
16、(2)(角度2)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为(C)A2 400B2 700C3 000D3 600解析(1)由题意得nn8，n72，故选B(2)设全校学生人数为n，由题意可知，解得n3 000，故选CMING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升分层抽样与概率相结合例5 (2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙
17、三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率解析(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，
18、D，G，E，F，E，G，F，G，共21种由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共5种，所以，事件M发生的概率P(M).名师点拨 分层抽样与概率相结合的题目是高考的热点，解题时先根据分层抽样确定人数，再利用古典概型求解相应的概率变式训练3某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”“街舞”“动漫”“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：社团相关人数抽取人数模拟法庭
19、24a街舞305动漫b4话剧12c(1)求a，b，c的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率解析(1)由表可知抽取比例为，故a4，b24，c2.(2)设“动漫”社团的4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”社团的2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15个其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个所以这2人分别来自这两个社团的概率P.(或这2人分别来自这两个社团的概率P)