1、第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)1如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？略2判别式的值对一元二次不等式的解集有何影响？略简单的分式不等式例1解下列不等式：(1)0；(2)2.解(1)由0，此不等式等价于(x2)(x1)0，原不等式的解集为x|x1(2)法一：移项得20，左边通分并化简有0，即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x2或x5法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x2，原不等式的解集为x|x1.解：(1)原不等式等价于即2x3.原不等式的解集为x|2x0，即0，等价于(3x2)(4x3)0.x.原不等式的解集为.不等式
2、中的恒成立问题例2关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围解原不等式等价于mx2mxm10，对xR恒成立，当m0时，0x20x10对xR恒成立当m0时，由题意，得m0.综上，m的取值范围为m0.类题通法不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2bxc0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0的解集为R的条件为一元二次不等式ax2bxc0的解集为的条件为活学活用若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求实数a的取值范围解：当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为
3、R，只需解得a.综上，所求实数a的取值范围为.一元二次不等式的实际应用例3某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)依题意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2
4、)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得，a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范围是x|0x2类题通法用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解活学活用某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪
5、的长为(8002x) m，宽为(6002x) m.根据题意可得(8002x)(6002x)800600，整理得x2700x6001000，即(x600)(x100)0，所以0x100或x600，x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m.典例已知f(x)x22(a2)x4，如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解由题意可知，只有当二次函数f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x22(a2)x40此时应满足0，即4(a2)2160，解得0a4.故a的取值范围是a|0a4【探究一】解决此类问题要注意三个“二次”之间
6、的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为R或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围【探究二】若x2的系数为参数，应参考本节例2及活学活用的解法【探究三】对于xa，b，f(x)0(或0)恒成立，应利用函数图象如：是否存在实数a，使得对任意x3,1，f(x)0恒成立若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解：若对任意x3,1，f(x)0恒成立，则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足即解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x3,1，f(x)0恒成立
7、【探究四】对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量如：已知函数yx22(a2)x4，对任意a3，1，y0恒成立，试求x的取值范围解：原函数可化为g(a)2xax24x4，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立随堂即时演练1若集合Ax|12x13，B，则AB等于()Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x2 Dx|0x1解析：选BAx|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4 B4a4Ca4或a4 Da4或a4
8、解析：选A依题意应有a2160，解得4a4，故选A.3不等式3的解集为_解析：3300x(2x1)0且x0x0的解集是(1，)，则关于x的不等式0的解集是()A. B.C. D.解析：选A依题意，a0且1.0(axb)(x2)0(x2)0，即(x1)(x2)0x2或x8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升依题意，得(x8)28%x.由于x0，因而原不等式化简为9x2150x4000，即(3x10)(3x40)0.解得x.又x8，84的解集为x|xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc0.解：(1)由题意知，1和b是方程ax23x20的两根，则解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即为x2(c2)x2c0，即(x2)(xc)2时，2xc；当c2时，cx2时，不等式解集为x|2xc；当c2时，不等式解集为x|cx2；当c2时不等式解集为.