1、第三讲圆的方程ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一圆的定义及方程定义平面内到_定点_的距离等于_定长_的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C：_(a，b)_半径：_r_一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：(，)半径：r知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆上；(2)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆外；(3)(x0a)2(y0b)2_0D方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆题组
2、二走进教材2(必修2P124A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_(x2)2y210_解析设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y2103(必修2P132A组T3)以点(2，1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为(C)A(x2)2(y1)23 B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29 D(x2)2(y1)29解析因为圆心(2，1)到直线3x4y50的距离d3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x2)2(y1)29.故选C题组三
3、考题再现4(2016课标全国)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a(A)A B C D2解析x2y22x8y130可化为(x1)2(y4)24，圆心为(1,4)由1，得a5(2019江西新余)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|2，则圆C的标准方程是(C)A(x)2(y1)22 B(x1)2(y)22C(x)2(y1)22 D(x1)2(y)22解析设线段AB的中点为D，则|AD|CD|1，r|AC|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x)2(y1)22，故选C KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考
4、点突破互动探究 考点一确定圆的方程自主练透例1(1)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为(B)A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22(2)(2019重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为(B)Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y24x0 Dx2y22x30(3)(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_x2y22x0_(4)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C
5、上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(x2)2y29_解析(1)设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为(a，a)，则即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆C的方程为(x1)2(y1)22(2)设圆心C(a,0)(a0)，由题意知2，解得a2，故圆C的方程为(x2)2y222，即x2y24x0，故选B(3)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.分别代入(0,0)，(1,1)，(2,0)三点，得解得故圆的方程为x2y22x0(4)设圆C的圆心坐标为(a,0)，a0，半径为r，则.a0，a2.r2(20)2(0)29，圆C的方程为(x2)2
6、y29名师点拨 求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值变式训练1(1)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_(x1)2(y2)210_(2)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(A)A(x2)2(y1)21 B(x
7、2)2(y1)21C(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21解析(1)AB的中点为H(0，4)，且kAB，AB中垂线方程为y42x，即2xy40由得圆心C(1，2)，r2AC210故所求圆的方程为(x1)2(y2)210(2)由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a0)，又圆与直线4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圆的标准方程为(x2)2(y1)21故选A考点二与圆有关的最值问题多维探究角度1斜率型最值例2已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值与最小值分别为，解析设k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大
8、值与最小值由1，解得k，故填，角度2截距型最值例3(2019海南海口模拟)已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是(B)A(2，4) B2，4C4,4 D4,2解析x2y24(y0)表示圆x2y24的上半部分，如图所示，直线xym0的斜率为，在y轴上的截距为m；当直线xym0过点(2,0)时，m2.设圆心(0,0)到直线xym0的距离为d，则即解得m2，4角度3距离型最值例4(2019沈阳模拟)已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为(A)A B C D解析(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方，由已知可得点P在直线l；x2y50
9、上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.故选A名师点拨 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式训练2已知实数x、y满足方程x2y24x10.求：(1)(角度1)的最大值和最小值；(2)(角度2)yx的最大值和最小值；(3)(角度3)x2y2的最大值和最小值解析(1)如图，方程x2y24x10表示以点C(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则
10、圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，所以kmax，kmin(2)解法一：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2所以yx的最大值为2，最小值为2解法二：设圆的参数方程为(02)，则yxsincos2sin()2，当时，取最大值2，当时，取最小值2(3)解法一：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274x2y2的最小值是(2)274解法二：由(2)中的参数方
11、程可得：x2y2(2cos)2(sin)274cos从而得最值考点三与圆有关的轨迹问题师生共研例5已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2
12、y2(x1)2(y1)24故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10名师点拨 求与圆有关的轨迹方程的方法|变式训练3(2019河北衡水中学调研)已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解析(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2由到的定义如，动点C的轨迹是以D(1,0
13、)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 对称思想在圆中的应用例6(1)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2
14、)21相切，则反射光线所在直线的斜率为(D)A或 B或C或 D或(2)已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是2解析(1)圆(x3)2(y2)21的圆心为C(3,2)，半径r1.如图，作出点A(2，3)关于y轴的对称点B(2，3)由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y(3)k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切可得1，即|5k5|，整理得12k225k120，即(3k4)(4k3)0，解得k或k，故选D(2)圆C的方程可化为(x2)2(y1)25，其圆心C(2，1)关于
15、直线l：xy20的对称点为C(3，4)，|PA|PQ|的最小值为|AC|2引申本例(1)中入射光线所在直线的方程为_4x3y10或3x4y60_名师点拨 1光的反射问题一般化为轴对称解决2求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决3定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心的距离加(减)半径；圆上的点到定直线距离的最大(小)值为圆心到直线的距离加(减)半径变式训练4(多选题)能够把圆O：x2y29的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f(x)称为圆O的“亲和函数”，下列函数是圆O的“亲和函数”的是(ABD)Af(x)4x3x2 Bf(x)ln Cf(x) Df(x)tan 解析若函数f(x)是圆O的“亲和函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称，由圆O：x2y29的圆心为坐标原点，由于A中f(x)4x3x，B中f(x)ln ，D中f(x)tan 的图象均过圆心(0,0)，且均为奇函数，故均满足条件；在C中f(x)的图象不过圆心，不满足要求，故选ABD