1、单元质检五平面向量(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第10页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则有() A.=2B.C.=3D.2答案:B解析:由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,即O为AD的中点.2.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案:D解析:如图,设=a,=b.则=()=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos 60=a2+a2=a2.3.(2015广东梅州模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是
2、()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)导学号32470601答案:C解析:设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.点P坐标为(3,0).4.已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.答案:B解析:因为a(b-a)=ab-a2=2,所以ab=3.所以cos=.所以=.5.(2015广东深圳模拟)已知|=|=2,点C在线段AB上,且|的最小值为1,则|-t|(tR)的最小值为()A.B.C.2D.导学号3
3、2470602答案:B解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(-t)2=4+4t2-2t22cos 120=4t2+4t+4=4+3的最小值是3,因此|-t|的最小值是.6.平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)()=0,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.无法确定答案:B解析:由(-2)()=0,得()+()()=0,所以()()=0.所以|2-|2=0.所以|=|,故ABC是等腰三角形.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
4、7.(2015山东,文13)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=.答案:解析:由题意可作图,OA=1,AP=,又PA=PB,PB=.APO=30.APB=60.=|cos 60=.8.(2015山西第三次四校联考)圆O为ABC的外接圆,半径为2,若=2,且|=|,则向量在向量方向上的投影为.导学号32470603答案:3解析:=2,O是BC的中点,故ABC为直角三角形.在AOC中,有|=|,B=30.由定义,向量在向量方向上的投影为|cos B=2=3.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2015河南漯河调研)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已
5、知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos ,t).(1)若a,且|=|,求向量的坐标;(2)若a,求y=cos2-cos +t2的最小值.解:(1)=(cos -1,t),a,2t-cos +1=0,cos -1=2t.又|=|,(cos -1)2+t2=5.由,得5t2=5,t2=1.t=1.当t=1时,cos =3(舍去);当t=-1时,cos =-1,B(-1,-1),=(-1,-1).(2)由(1)可知t=,y=cos2-cos +=cos2-cos +=,当cos =时,ymin=-.10.(15分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,
6、B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的
7、斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以POM的面积为.导学号3247060411.(15分)(2015广东惠州模拟)已知向量=(cos ,sin )(0),=(-sin ,cos ),其中O为坐标原点.(1)若=-,求向量的夹角;(2)若|2|对任意实数,恒成立,求实数的取值范围.解:(1)设向量的夹角为,则cos =,当0时,cos =,=;当0时,向量的夹角为;当0时,向量的夹角为.(2)=(-sin -cos ,cos -sin ).|2|对任意的,恒成立,即(cos +sin )2+(sin -cos )24对任意的,恒成立,即2+1+2sin(-)4对任意的,恒成立,所以解得3或-3.故所求实数的取值范围是(-,-33,+).导学号32470605