1、第四讲直线、平面平行的判定与性质ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，_ab_a_a，a，_b_结论aba_ab_知识点二面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件_a，b，_abP，_a，b_，_a，_b_，a结论aba1垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a，a，则”2垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a，b，则ab”3平行于同一个平面的两个平面平行，即“若，则”题组一走出误区1(多选题)下列结论正确的是(BD)A如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B
2、如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面C若直线a与平面内无数条直线平行，则aD若，直线a，则a题组二走进教材2(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是(D)A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析对于选项A，若存在一条直线a，a，a，则或与相交，若，则存在一条直线a，使得a，a，所以选项A的内容是的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到个平面中，成为相交直线，则
3、有，所以选项D的内容是的一个充分条件故选D题组三考题再现3(2019课标全国)设，为两个平面，则的充要条件是(B)A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面4(2019湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，表示不同平面，给出下列命题：若ac，bc，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab其中真命题的个数是(A)A1 B2 C3 D4解析只有正确，故选A5(2019福建师大附中期中)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是(D)A若l，m，则lmB若l，ml，则mC若l，ml，则mD若l，m，则lm解析若l，m，则lm
4、或l与m相交或l与m异面；若l，ml，则m或m与相交；若l，ml，则m或m，A、B、C都错，选DKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一空间平行关系的基本问题自主练透例1(1)(多选题)(2020河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a，b和不同的平面，给出下列四个命题中，其中正确的是(CD)A若a，b，则abB若a，a，则C若a，b，则abD若a，a，则(2)(2020辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，为平面)，则此条件是_l_l；l；l解析(1)对于A，若a，b， 则直线a和直
5、线b可以相交也可以异面，故A错误；对于B，若a，a，则平面a和平面可以相交，故B错误；对于C，若a，b，则根据线面垂直性质定理，ab，故C正确；对于D，若a，a，则成立；故选CD(2)lm，ml或l，由ll；l，m，lml；lm，ml或l，由ll.故答案为l变式训练1(多选题)(2020吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1平行的是(ABD)A直线EF B直线GHC平面EHF D平面A1BC1解析首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EFAC，GHA1C1AC，A1BD
6、1C，直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1AC，由面面平行判定易知平面A1BC1平面ACD1，由EHAB1，AB1平面ACD1A，EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，C错，故选A、B、D考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1线面平行的判定例2(2019辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，BAD60，PDADAB2，CD4，E为PC的中点(1)证明：BE平面PAD；(2)求三棱锥EPBD的体积解析(1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA由题意知EF为PDC的中位线，EFCD，且EFCD
7、2又ABCD，AB2，CD4，AB綊EF，四边形ABEF为平行四边形，BEAF又AF平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD证法二：延长DA、CB相交于H，连PH，ABCD，AB2，CD4，即B为HC的中点，又E为PC的中点，BEPH，又BE平面PAD，PH平面PAD，BE平面PAD，证法三：取CD的中点H，连BH，HE，E为PC中点，EHPD，又EH平面PAD，PD平面PAD，EH平面PAD，又由题意知AB綊DH，BHAD，又AD平面PAD，BH平面PAD，BH平面PAD，又BHEHH，平面BHE平面PAD，BE平面PAD(2)E为PC的中点，V三棱锥EPBDV三棱锥EBCDV三棱锥PBC
8、D又ADAB，BAD60，ABD为等边三角形，BDAB2又CD4，BDCBAD60，BDBCBC2PD平面ABCD，三棱锥PBCD的体积V三棱锥PBCDPDSBCD222，三棱锥EPBD的体积V三棱锥EPBD名师点拨 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，aa)注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形角度2线面平行的性质例3如图，在多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，ADBC，平面BCEF平面ADEFEF，BAD60，AB2
9、，DEEF1(1)求证：BCEF；(2)求三棱锥BDEF的体积解析(1)证明：ADBC，AD平面ADEF，BC平面ADEF，BC平面ADEF又BC平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF，BCEF(2)过点B作BHAD于点H，DE平面ABCD，BH平面ABCD，DEBHAD平面ADEF，DE平面ADEF，ADDED，BH平面ADEFBH是三棱锥BDEF的高在RtABH中，BAD60，AB2，故BHDE平面ABCD，AD平面ABCD，DEAD由(1)知BCEF，且ADBC，ADEF，DEEF三棱锥BDEF的体积VSDEFBH11名师点拨 空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质
10、定理，即a，a，bab(2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行变式训练2(1)(角度2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH求证：PAGH(2)(角度1)(2019贵州黔东南州二模)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，点E，F分别为BC，AP的中点求证：EF平面PCD；若ADAPPBAB1.求三棱锥PDEF的体积解析(1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是A
11、C的中点，又M是PC的中点，PAMO又MO平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD平面PAHG平面BMDGH，PA平面PAHG，PAGH(2)证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC在PAD中，G，F分别为PD，AP的中点，GF綊AD在矩形ABCD中，E为BC的中点，CE綊AD，GF綊EC，四边形EFGC是平行四边形，GCEFGC平面PCD，EF平面PCD，EF平面PCD四边形ABCD是矩形，ADAB，ADBC又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AD平面ABCD，AD平面PAB，ADBP，平面PAD平面PABADAPPBAB1，
12、AB，AP2PB2AB2，APBP.ADAPA，BP平面PADBC平面PAD，点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离SPDFPFAD1，V三棱锥PDEFV三棱锥EPDFSPDFBP1， 三棱锥PDEF的体积为考点三空间两个平面平行的判定与性质师生共研例4如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GHB1C1，又B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点
13、，所以EFBC，因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG又因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG引申1在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA证明如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD平面A1B1BA引申2在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1
14、平面AC1D证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1BDM因为A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM平面A1BD1又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1BD1又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，所以平面A1BD1平面AC1D名师点拨 证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
15、(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化变式训练3(2019南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，AD的中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求三棱锥PABM的体积解析(1)证明：M，N分别为PD，AD的中点，MNPA，又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60又BAC60，CNABCN平面PAB，AB平面PAB，CN平面PAB又
16、CNMNN，CN，MN平面CMN，平面CMN平面PAB(2)由(1)知，平面CMN平面PAB，点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离AB1，ABC90，BAC60，BC，三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 平行中的探索性问题求解策略例5(2019湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD中，已知BCAD，AB，BC1，AD3，BPAD，垂足为P，将ABP沿BP折起，使平面ABP平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面
17、MEF平面ABC；(2)求三棱锥APCM的体积解析(1)E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF平面ABC，证明如下：取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EFM，F分别为AD，CD的中点，MFAC又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，EFBCMFEFF，ACBCC，平面MEF平面ABC(2)平面ABP平面PBCD，平面ABP平面PBCDBP，APBP，AP平面PBCD，取PD的中点E，连接AE，ME，EC易知MEAP，PE1，CE1，AP1VMAPCVEPAC，又VAPCMVMAPC，且VAPCEVEAPC，VAPCMVAPCESPCEAPPEECAP，三棱锥APCM的体积
18、为名师点拨 平行中的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设变式训练4在三棱柱ABCA1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B平面AC1H？并证明解析BC上存在点H(即BC的中点)使A1B平面AC1H证明如下：连A1C交AC1于O，则O为A1C的中点连HO，又H为BC的中点，HOA1B，又OH平面AHC1，A1B平面AHC1，A1B平面AC1H