1、模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题p：若x2y20(x，yR)，则x，y全为0；命题q：若ab，则.给出下列四个复合命题：p且q；p或q；p；q.其中真命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选B命题p为真，命题q为假，故pq真，q真2“a1”是“函数f(x)x22ax3在区间1，)上递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A函数f(x)x22ax3的对称轴为直线xa，若函数在区间1，)上递增，则a1，所以“a1”是“函数f(x)x22a
2、x3在区间1，)上递增”的充分不必要条件3已知命题P：函数ylog0.5(x22xa)的值域为R；命题Q：函数y(52a)x是R上的减函数若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba2C1a1，解得a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()A B2C D解析：选C双曲线1的渐近线方程为yx，因为yx21与渐近线相切，故x21x0只有一个实根，所以40，所以4，所以5，所以e.6已知椭圆1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A椭圆 B圆C双曲线的一支 D线段解析：选A因为P为MF1的中点，O为F1F
3、2的中点，所以|OP|MF2|，又|MF1|MF2|2a，所以|PF1|PO|MF1|MF2|a.所以P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆7下列四个命题：“若x2y20，则实数x，y均为0”的逆命题；“相似三角形的面积相等”的否命题；“ABA，则AB”的逆否命题；“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题其中真命题为()A BC D解析：选C的逆命题为“若实数x、y均为0，则x2y20”，是正确的；因为“ABA，则AB”是正确的，所以它的逆否命题也正确8在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若CMN90，则异面直线AD1与DM所成的角为()A30 B45C60 D
4、90解析：选D建立如图所示坐标系设ABa，ADb，AA1c，则A1(b，0，0)，A(b，0，c)，C1(0，a，0)，C(0，a，c)，B1(b，a，0)，D(0，0，c)，N，M.因为CMN90，所以，所以b2c20，所以cb.所以1(b，0，b)b2b20，所以AD1DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90.9已知椭圆x22y24，则以(1，1)为中点的弦的长度为()A3 B2C D解析：选C令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得：(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，所以k1，所以l的方程：x2y30，由得6y21
5、2y50.所以y1y22，y1y2.所以|AB|.10设O为坐标原点：F1，F2是1(a0，b0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足F1PF260，|OP|a，则该双曲线的渐近线方程为()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0解析：选D因为O为F1F2的中点，所以2，所以(12)2(2)2.即|1|2|2|22|1|2|cos 604|2.又因为|PO|a，所以|1|2|2|2|1|2|28a2，又由双曲线定义得|PF1|PF2|2a，所以(|PF1|PF2|)24a2.即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.由得|PF1|PF2|8a2，所以|PF1|2|PF2|220a2.在F
6、1PF2中，由余弦定理得cos 60，所以8a220a24c2，即c23a2.又因为c2a2b2，所以b22a2.即2，所以，所以双曲线的渐近线方程为xy011在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A BC D解析：选D因为OP平面ABC，OAOC，ABBC，所以OAOB，OAOP，OBOP.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设ABa，则A，B，C.设OPh，则P(0，0，h)，因为PA2a，所以haa.所以.可以求得平面PBC的法向量n，所以cos，n.设OD与平面PBC所成的角为
7、，则sin |cos，n|.12过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|()A4p B5pC6p D8p解析：选A设抛物线y22px(p0)的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|PF|QF|x1x2(x1x2)p4p.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13命题p：若a，bR，则ab0是a0的充分条件，命题q：函数y的定义域是3，)，则“pq”“pq”“p”中是真命题的有_解析：依题意可知p假，q真，所以“pq”为真，“pq”为假，“p”为真答案：pq，p14已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过
8、F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90，则双曲线的离心率是_解析：由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，即2c，2，即10.所以e22e10，解得e1或e1(舍去)答案：115已知A(0，4)，B(3，2)，抛物线y2x上的点到直线AB的最短距离为_解析：直线AB为2xy40，设抛物线y2x上的点P(t，t2)，d.答案：16给出下列三种说法：四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是adbc；命题“若x3且y2，则xy1”为假命题；若pq为假命题，则p，q均为假命题其中正确说法的序号为_解析：对，a，b，c，d成等比数列，则adbc，反之不一定故正确
9、；对，令x5，y6，则xy1，所以该命题为假命题，故正确；对，pq为假时，p，q至少有一个为假命题，故错误答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知命题p，2x29xa0，q：且q是p的必要条件，求实数a的取值范围解：由得即2x3，所以q：2x3.设Ax|2x29xa0，Bx|2x3，因为pq，所以qp，所以BA.即2x3满足不等式2x29xa0.设f(x)2x29xa，要使2x3满足不等式2x29xa0)，若q是p的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解：由p得3x9，由q得m1xm1，因为q是p的必要而不充分条件，所以得m8.又因为m8时命题成立所
10、以实数m的取值范围是m8.19(本小题满分12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为DD1、BD、BB1的中点(1)求证：EF平面AB1C；(2)求EF与CG所成的角的余弦值解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，G(2，2，1)(1)证明：(1，1，1)，(2，2，0)，(0，2，2)，因为0，所以EFAC，因为0，所以EFAB1，又ACAB1A，所以EF平面AB1C.(2)因为(2，0，1)，所以cos，所以EF与CG所成的角的余弦值为.20(本小题满分12分)已
11、知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由解：(1)直线AB方程为：bxayab0.依题意解得所以椭圆的方程为y21.(2)假若存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90，所以(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1，0)，当且仅当CEDE时，则1，即y1y2(x11)(x21
12、)0.所以(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k，经验证，k使成立综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E.21. (本小题满分12分)在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角CDFE的余弦值解：(1)证明：由ADEF，EFBC，得ADBG.又BC2AD，G是BC的中点，所以ADBG.所以四边形ABGD为平行四边形，所以ABDG.又DG平面DEG，所以AB平面DEG.(2)证明：因为EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AE
13、B，所以EFAE，EFBE，又AEEB.所以EB，EF，EA两两垂直以E为坐标原点，EB，EF，EA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)所以(2，2，0)，(2，2，2)所以2222200.所以，所以BDEG.(3)由第二问，得(2，0，0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x，y，z)因为(0，1，2)，(2，1，0)，且，所以.令z1，得x1，y2，所以可取n(1，2，1)所以cosn，.由图易得二面角CDFE为钝角，所以二面
14、角CDFE的余弦值为 .22(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：ykxm交椭圆于不同的两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意得解得c.由a2b2c2，得b1.所以所求椭圆方程为y21.(2)由已知，可得m2(k21)将ykxm代入椭圆方程，整理得(13k2)x26kmx3m230.(6km)24(13k2)(3m23)0，(*)所以x1x2，x1x2.所以|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3334(k0)当且仅当9k2，即k时等号成立，此时|AB|2.经检验，k满足(*)式当k0时，|AB|.综上可知|AB|max2，所以当|AB|最大时，AOB的面积取最大值S2.