1、考点规范练67坐标系与参数方程考点规范练A册第46页基础巩固组1.(2015河北衡水中学二模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2+t,y=t+1(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P的方程为2-4cos +3=0.(1)求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程;(2)设曲线C和曲线P的交点为A,B,求|AB|.解:(1)曲线C的普通方程为x-y-1=0.曲线P的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0.(2)曲线P可化为(x-2)2+y2=1,表示圆心为(2,0),半径r=1的圆,则圆心到直线C的距离为d=12=22,所以|AB|=2r2-
2、d2=2.2.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos-3=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解:(1)由cos-3=1得,cos cos3+sin sin3=1.即曲线C的直角坐标方程为x+3y-2=0.令y=0,则x=2;令x=0,则y=233.M(2,0),N0,233.M的极坐标为(2,0),N的极坐标为233,2.(2)M,N连线的中点P的直角坐标为1,33,P的极角为=6.直线OP的极坐标方程为=6(R).导学号929506
3、063.(2015沈阳一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=4cos,y=4sin(为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角=6.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|PB|的值.解:(1)消去,得圆的普通方程为x2+y2=16.直线l的参数方程为x=1+tcos6,y=2+tsin6,即x=1+32t,y=2+12t(t为参数).(2)把直线l的参数方程x=1+32t,y=2+12t代入x2+y2=16,得1+32t2+2+12t2=16,即t2+(2+3)t-11=0.所以t1t2=-11,即|PA|PB|=11.导学号
4、929506074.(2015福建,理21(2)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+3cost,y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为2sin-4=m(mR).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.解:(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由2sin-4=m,得sin -cos -m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即|1-(-2)+m
5、|2=2,解得m=-322.5.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为2,4,直线l的极坐标方程为cos-4=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.解:(1)由点A2,4在直线cos-4=a上,可得a=2.所以直线l的方程可化为cos +sin =2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1.因为圆心C到直线l的距离d=12=221,所以
6、直线l与圆C相交.6.(2015陕西,理23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解:(1)由=23sin ,得2=23sin ,从而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.(2)设P3+12t,32t,又C(0,3),则|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).导学号92950608能力提升组7
7、.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解:(1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=55|4cos +3sin -6|,则|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取
8、得最小值,最小值为255.导学号929506098.(2015河北石家庄高三质检二)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线C2的极坐标方程为cos+4=22.(1)把曲线C1的方程化为普通方程,C2的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|PF|的值.解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,C2:x-y-1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),联立
9、y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0.x1+x2=6,x1x2=1,x0=x1+x22=3,y0=2.AB中垂线的参数方程为x=3-22t,y=2+22t(t为参数).y2=4x.将代入中,得t2+82t-16=0,t1t2=-16.|PE|PF|=|t1t2|=16.导学号929506109.(2015江西宜春奉新一中高考模拟)已知直线l的参数方程为x=1+2t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是=sin1-sin2.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值,并求出P点的坐标.解:(1)x=1+2t,y=2t,x-y=1.直线l的极坐标方程为cos -sin =1,即2coscos4-sinsin4=1,即2cos+4=1.=sin1-sin2,=sincos2,cos2=sin ,(cos )2=sin ,即曲线C的普通方程为y=x2.(2)设P(x0,y0),则y0=x02.P到直线的距离为d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342.当x0=12时,dmin=328,此时P12,14.当P点为12,14时,P到直线l的距离最小,最小值为328.导学号929506113
