1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 第二章 概率成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 概率 第二章 第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 2.3 随机变量的数字特征第二章 第2课时 离散型随机变量的方差第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课前自主预习第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学
2、 选修2-3 A，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数 X10123P0.70.20.060.04第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 B 机床次品数 X20123P0.80.060.040.10试问：由 E(X1)和 E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 1.数学期望(均值)的性质：若 YaXb，其中 a，b 为常数，X 是随机变量，则(1)Y也是随机变量，(2)E(aXb)
3、_.2二点分布、二项分布及超几何分布的数学期望(均值)(1)二点分布：E(X)1p0(1p)_.(2)二项分布：在 n 次独立重复试验中，XB(n，p)，则 E(X)_.(3)超几何分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 N，M，n的超几何分布，而 E(X)_.aE(X)bp npnMN第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 一、离散型随机变量的方差与标准差 一般地，设一个离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1，x2，xn，这些值对应的概率是 p1，p2，pn，则 D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn 叫做这个离散
4、型随机变量 X 的方差D(X)的算术平方根 DX叫做离散型随机变量 X 的标准差理解方差的概念要注意以下几点：第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 1D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明 X 的取值越分散；反之 D(X)越小，X 的取值越集中在 E(X)附近，统计中常用 DX来描述 X的分散程度2D(X)与 E(X)一样也是一个实数，由 X 的概率分布唯一确定3随机变量 X 的方差与标准差都反映了随机变量 X 的取值的稳定与波动、集中与离散的程度D(X)越小，稳定性越高，波动越小，显然 D(X
5、)0，标准差与随机变量本身有相同的单位第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 下列说法正确的是()A离散型随机变量的期望E()反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差D()反映了的取值的平均水平C离散型随机变量的期望E()反映了取值的平均水平D离散型随机变量的方差D()反映了取值的概率的平均值答案 C解析 由离散型随机变量的期望与方差的定义可知，C正确故选C第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 二、离散型随机变量方差的性质设 X 为离散型随机变量，则 YaXb(a，b 为常数)也是一个离散型的随机变
6、量，并且有 D(Y)D(aXb)a2D(X)证明如下：如果 YaXb，其中 a，b 为常数，那么 Y 也是随机变量所以 Y 的分布列为Yax1bax2baxnbPp1p2pn第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 有 E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axnb)pna(x1p1x2p2xnpn)b(p1p2pn)aE(X)b，即 E(aXb)aE(X)b.D(aXb)(ax1baE(X)b)2p1(ax2baE(X)b)2p2(axnbaE(X)b)2pna2(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pna2D(X)特别地，(1
7、)当 a0 时，D(b)0，即常数的方差等于 0；第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (2)当 a1 时，D(Xb)D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；(3)当 b0 时，D(aX)a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积利用上述公式可以简化求随机变量的方差的过程第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 答案 A已知随机变量 的分布列为：P(k)13，k1、2、3，则D(35)()A6 B9C3 D4解析 E()(123)132，D(
8、)(12)2(22)2(32)21323，D(35)9D()6.故选 A第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 三、二点分布、二项分布与超几何分布的方差1若 X 服从参数为 p 的二点分布，则 D(X)p(1p)若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)2对于二点分布，假设在一次试验中某事件发生的概率为p，X 是一次试验中此事件发生的次数，令 q1p，则 P(X0)q，P(X1)p，可得 E(X)0q1pp.D(X)(0p)2P(X0)(1p)2P(X1)p2(1p)(1p)2pp(1p)p(1p)p(1p)第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新
9、课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 3超几何分布，若随机变量 X 服从超几何分布，则 D(X)nMN(1MN)NnN1.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 设XB(n，p)，则有()AE(2X1)2npBD(2X1)4np(1p)1CE(2X1)4np1DD(2X1)4np(1p)答案 D解析 因为XB(n，p)，所以D(x)np(1p)，于D(2X1)4D(X)4np(1p)，故选D.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 四、离散型随机变量方差的求法1求离散型随机变量的方差和标准差的步骤：(
10、1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出分布列；(4)利用公式 E(X)x1p1x2p2xipixnpn，求出随机变量的期望 E(X)；(5)代入公式 D(x)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn 求出方差 D(X)；(6)代入公式(x)DX求出随机变量的标准差.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 2由已知离散型随机变量的分布列求方差，主要是利用方差的概念进行求解，但若分布列中有待定字母，必须先利用分布列的性质求出待定字母的值，然后
11、再求方差3由已知离散型随机变量的方差求另一离散型随机变量的方差，主要是利用离散型随机变量函数的方差公式进行计算，即利用离散型随机变量的方差的性质求解4对于特殊的分布列，可直接利用公式求解第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)解析(1)X 服从二点分布X01P1212所以 E(X)p12，D(X)p(1p)12112 14.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (2)依题意可知，
12、XB10，12，E(X)np10125，D(X)np(1p)1012112 52.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课堂典例探究第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 已知某运动员投篮命中率p0.6.(1)求一次投篮命中次数的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差分析(1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数服从两点分布(2)重复五次投篮的投中次数服从二项分布两点分布与二项分布的方差第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析(1)投篮一
13、次命中次数 的分布列为01P0.40.6则 E()00.410.60.6，D()(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 服从二项分布，即 B(5,0.6)由二项分布期望与方差的计算公式，有E()50.63，D()50.60.41.2.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 方法总结 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点：(1)写出离散型随机变量的分布列；(2)正确应用期望与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学
14、习指导 人教B版 数学 选修2-3 答案 D解析 显然X服从两点分布，D(X)m(1m).设一随机试验的结果只有 A 和 A，且 P(A)m，令随机变量 X1 A发生0 A不发生，则 X 的方差 D(X)()Am B2m(1m)Cm(m1)Dm(1m)第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平分析 解决此类问题的方法是比较的数学期望和方差的大小，从而得出结论方差的实际应用0123P0.30
15、.30.20.2012P0.10.50.4第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析 甲保护区违规次数 的数学期望和方差为 E()00.310.320.230.21.3；D()(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保护区的违规次数 的数学期望和方差为：E()00.110.520.41.3；D()(01.3)0.1(11.3)20.5(21.3)0.40.41.因此 E()E()，D()D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区的
16、违规事件次数更集中和稳定方法总结 在实际问题中，仅靠期望值还不能完全说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 有甲、乙两个单位都愿聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资 X1/元1200140016001800获得相应职位的概率 P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资 X2/元1000140018002200获得相应职位的概率 P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿选择哪家单位？第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3
17、 解析 根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)12000.414000.316000.218000.11400，D(X1)(12001400)20.4(14001400)20.3(16001400)20.2(18001400)20.140 000；E(X2)10000.414000.318000.222000.11400，D(X2)(10001400)20.4(14001400)20.3(18001400)20.2(22001400)20.1160000.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 因为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，
18、所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 期望、方差、分布列的综合应用袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求 X 的分布列、期望与方差；(2)若 aXb，E()1，D()11，试求 a，b 的值分析 解答本题中的(1)可利用概率的有关知识求解，对于(2
19、)可直接利用期望与方差的性质求解第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析(1)X 的分布列为X01234P1212011032015E(X)0121 1202 1103 3204151.5.D(X)(01.5)212(11.5)2 120(21.5)2 110(31.5)2 320(41.5)2152.75.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (2)aXb，D()a2D(X)，2.75a211，a2.又 E()aE(X)b，当 a2 时，由 121.5b 得 b2，当 a2 时，由 121.5b，得
20、 b4.综上可知a2b2 或a2b4.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 已知随机变量 X 的分布列是X01234P0.20.20.30.20.1试求 D(X)和 D(2X1)第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析 E(X)00.210.220.330.240.11.8.D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.对于 D(2X1)，可用两种方法求解解法 1：2X1 的分布列如下：2X111357P0.20.20.30.20
21、.1E(2X1)2.6.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 D(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.解法 2：利用方差的性质 D(aXb)a2D(X)D(X)1.56.D(2X1)4D(X)41.566.24.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的概率分布；(2)求随机变量X的数学期望和方
22、差第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 分析(1)随机变量 X 的意义表示对号入座学生个数；它的取值只有 0、1 或 3，若 2 人对号入座第 3 人必对号入座，所以 X2 不存在由排列知识与等可能事件概率公式易求分布列(2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析(1)P(X0)2A3313；P(X1)C13A3312；P(X3)1A3316.概率分布列为X013P131216(2)E(X)1123161.D(X)(10)213(11)212(31)2161
23、.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 方法总结 本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含的结果数，基本事件的总数若问题推广为错位入座的学生个数其变量X的概率分布列、期望、方差也可用类似的方法解决第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方
24、差第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析(1)X 的可能值为 0,1,2.若 X0，表示没有取出次品，其概率为 P(X0)C02C310C312 611，同理，有 P(X1)C12C210C312 922，P(X2)C22C110C312 122.X 的分布列为X012P611922122E(X)0 6111 9222 12212.D(X)0122 6111122 9222122 122 322 9889881544.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (2)Y 的可能值为 1,2,3，显然 XY
25、3.P(Y1)P(X2)122，P(Y2)P(X1)922，P(Y3)P(X0)611.Y123P122922611E(Y)1 1222 9223 61152.D(Y)1522 1222522 9223522 6111544.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差错解 5 把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为15，故试开次数 XB(5，15)，由二项分布均值与方差的定义知 E(X)5151，D(X)515(115)45.第
26、二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 辨析 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了其次Xk的含义是前k1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 正解 设 X 为打开此门所需的试开次数，则 X 的可能取值为 1、2、3、4、5.Xk 表示前 k1 次没打开此门，第 k 次才打开了此门P(X1)15，P(X2)C14C151415，P(X3)C24C251315，P(X4)C34C351215，P(X
27、5)C44C45115，第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 故随机变量 X 的概率分布列为X12345P1515151515E(X)1152153154155153.D(X)(13)215(23)215(33)215(43)215(53)21515(2212021222)2.第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 警示(1)弄不清随机变量 X 取值的含义是本题解题的易错点，Xk 表示前 k1 把钥匙是从 4 把打不开房门的钥匙中取的，故 P(Xk)Ck14Ck15 15k1.(2)本题求分布列时，可换一个思维角度思考，把 5 把钥匙排成一列，能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的，因此排在第 k 个位置的概率为 P(Xk)15(k1,2,3,4,5)第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差与标准差理解离散型随机变量方差的性质理解二点分布、二项分布的方差理解第二章 2.3 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课 时 作 业（点此链接）