1、22.2双曲线的几何性质1.了解双曲线的渐近线2.理解研究双曲线几何性质的思想方法3.掌握双曲线的简单几何性质双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形续表几何性质范围|x|a|y|a焦点F1(c，0)、F2(c，0)F1(0，c)、F2(0，c)顶点A1(a，0)、A2(a，0)A1(0，a)、A2(0，a)对称性关于x、y轴对称，关于原点对称实、虚轴长实轴长为2a，虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比，即e渐近线方程yxyx1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()(2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点(
2、)(3)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()答案：(1)(2)(3)2双曲线1的渐近线方程为()A3x4y0B4x3y0C9x16y0 D16x9y0答案：A3双曲线1的焦点坐标为_，离心率为_答案：(7，0)4双曲线的一个焦点是F1(6，0)，且a2b2，则其标准方程为_解析：因为等轴双曲线的焦点为(6，0)，所以c6，所以2a236，a218.所以双曲线的标准方程为1.答案：1双曲线的简单几何性质学生用书P31求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 【解】将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3，0)，(3，
3、0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yx.把本例中的双曲线方程改为9y24x236，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：把方程9y24x236化为标准形式为1，所以a2，b3，c，所以顶点坐标为(0，2)，(0，2)，焦点坐标为(0，)，(0，)，离心率e.渐近线方程为yx.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 1.双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.BC1 D.解析：选B.双曲线x2y21的顶点坐标为(1，0)，渐近线为yx，所以xy0，所以顶点到渐近线的距离为d.2已知F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，P为该双
4、曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A.1 B1C2 D2解析：选B.不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a.因为PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是PF2F190，所以|PF2|F1F2|2c，所以|PF1|2a|PF2|2a2c，所以(2a2c)22(2c)2，即c22aca20，两边同除以a2，得e22e10.因为e1，所以e1.由双曲线的几何性质求标准方程学生用书P32求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)【解】(1)设所求双曲线方程为(0)，将点(3
5、，2)代入得，所以双曲线方程为，即1.(2)法一：设双曲线方程为1，由题意易求得c2，又双曲线过点(3，2)，所以1，又因为a2b2(2)2，所以a212，b28.故所求双曲线的方程为1.法二：设所求双曲线方程为1(160，b0)则2a8，所以a4.由e得c5.所以b2c2a252429.所以所求双曲线方程为1.(2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)所以，且2c20.所以c10，又c2a2b2，所以a280，b220.所以所求双曲线方程为1.当焦点在y轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)，所以，即b2a.又2c20，所以c10.又c2a2b2，所以a220，b280.
6、所以所求双曲线方程为1.综上所述，所求双曲线方程为1或1.求双曲线离心率的值(范围)学生用书P33设双曲线1(0aa0，所以1.所以e212.所以e24，e2.求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e； (2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求离心率 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.BC. D.解析：选D.设双曲线方程为1(a，b0)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近
7、线的斜率为，所以由直线垂直关系得1(显然不符合)，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(负值舍去)1由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：首先将双曲线方程化为标准形式1或1(a0，b0)，确定a、b的值，进而求出c，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案2根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a、b、c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程3渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是
8、渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程1在解题时一定要注意实轴与虚轴、实轴长与实半轴长、虚轴长与虚半轴长的区别，不可混淆2求双曲线的方程，若焦点位置不确定，需分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论3在求离心率e的值时，一定要结合e1的范围，求出e的准确值，防止多解1双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2B2C4 D4解析：选C.双曲线的一条渐近线方程为0，即bxay0，焦点(c，0)到渐近线的距离为，所以b，又2，c2a2b2，所以c2，故双曲线的焦距为2c4.2已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0
9、)，(4，0)，则双曲线方程为()A.1 B1C.1 D.1解析：选A.由已知c4，e2，所以a2，b2c2a212，又焦点在x轴上，所以双曲线方程为1.3双曲线1的离心率为，则m等于_解析：由已知得a4，b，所以c，又e，所以，所以m9.答案：94设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_解析：由已知b1，c，所以a2c2b22，所以渐近线方程为yx.答案：yx 学生用书P91(单独成册)A基础达标1双曲线y21的虚轴长是()A2B2C4 D4解析：选A.双曲线y21化成标准方程为y21，所以b1，2b2，即虚轴长为2.2中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐
10、近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A. BC. D.解析：选D.由题意知，过点(4，2)的渐近线的方程为yx，所以24，所以a2b.法一：设bk，则a2k，ck，所以e.法二：e211，故e.3已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：选A.由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.4若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236解析：选A.椭圆4x2y264即1，焦点为(
11、0，4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.5如图，双曲线C：1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是()A3 B4C6 D8解析：选C.设F2为右焦点，连接P2F2，由双曲线的对称性，知|P1F1|P2F2|，所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|236.6中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x4y120与x轴的交点坐标为(4，0)，故双曲线的一个焦点为(4，0)，即c4.
12、设等轴双曲线方程为x2y2a2，则c22a216，解得a28，所以双曲线方程为x2y28.答案：17设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题设条件可得，所以，所以，所以4，所以e2.答案：28已知F1，F2是双曲线E：1(a0，b0)的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为_解析：设F1(c，0)，将xc代入双曲线方程，得1，所以1，所以y.因为sinMF2F1，所以tanMF2F1，所以e2e10，所以e(负值舍去)答案：9双曲线的离心率等于2，且与椭圆1有相同的顶点，
13、求此双曲线的标准方程解：因为椭圆1的顶点为(5，0)，(5，0)，(0，3)，(0，3)，当顶点为(5，0)，(5，0)时，焦点在x轴上，且a5.又2，所以c10，从而b275，所以标准方程为1.当顶点为(0，3)，(0，3)时，焦点在y轴上，且a3.又e2，所以c6，所以b2c2a236927，所以标准方程为1.综上可知，双曲线的标准方程为1或1.10过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a
14、，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.B能力提升11已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D.1解析：选D.根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24，得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1，故选D.12已知
15、M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. BC. D.解析：选A.由题意知a22，b21，所以c23，不妨设F1(，0)，F2(，0)，所以(x0，y0)，(x0，y0)，所以x3y3y10，所以y00)(1)若m4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e，求实数m的取值范围解：(1)m4时，双曲线方程化为1，所以a2，b，c3，所以焦点坐标为(3，0)，(3，0)，顶点坐标为(2，0)，(2，0)，渐近线方程为yx.(2)因为e21，e，所以12，解得5m0，b0)，那么AA2a24，a12，点B，C的横坐标分别是25，13，设点B，C的坐标分别是(25，y1)，(13，y2)，(y10)，所以，解得：y1b，y2b，又因为塔高为55 m，所以y2y155，即bb55，b25，故所求的双曲线的方程是1.
