1、23平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理1掌握1组应用结论(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则(2)重要结论设e1，e2是平面内一组基底，当1e12e20时恒有120若a1e12e2当20时，a与e1共线当10时，a与e2共线120时，a02.辨明2个易错点易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和.(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角知识点一用基底表示向量1设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e12e2和4
2、e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e2e1解析：选B4e26e12(3e12e2)，共线，不能作为基底故选B.2设G为ABC的重心，O为坐标原点，a，b，c，试用a，b，c表示，_.解析：()()(abc)答案：(abc)3已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则akb(kR)，又ae12e2，b2e1e2，4.答案：(，4)(4，)知识点二向量的夹角4若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A60 B120C30 D150解析：选Aa与b分别为a与b的相
3、反向量，a与b的夹角为60.故选A.5在RtABC中，BAC30，则与的夹角等于()A30 B60C120 D150解析：选D与的夹角为BAC的补角故选D.6已知向量a与b的夹角等于60，则(1)2a与3b的夹角是_；(2)2a与b的夹角是_解析：2a与3b的夹角等于a与b的夹角即为60；2a与b的夹角等于a与b夹角的补角，即为120.答案：(1)60(2)120知识点三平面向量基本定理的应用7已知向量a，b不共线，且a4b，a9b，3ab，则一定共线的是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A2a8b2(a4b)2，又与有公共点B，故A、B、D三点共线故选A.8若D
4、点在ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. BC. D解析：选C4rs，()rs，r，s.3rs.故选C.1若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1 Be1e2，e1e2C2e2e1，2e2e1 D2e1e2,4e12e2解析：选B不共线的向量能作为基底，因为e1e2(e2e1)，所以向量e1e2，e2e1共线，排除A；因为2e2e1(2e2e1)，所以2e2e1，2e2e1共线，排除C；因为2e1e2(4e12e2)，所以2e1e2,4e12e2共线，排除D，故选B.2若向量e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不
5、正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a，使ae1e2的实数，有无数多对；若1，1，2，2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使e1e20，则0.A BC D解析：选B由平面向量基本定理，可知说法正确，说法不正确对于，当12120时，这样的有无数个故选B.3如图所示，|1，|，AOB60，设xy，则()Ax2，y1 Bx2，y1Cx2，y1 Dx2，y1解析：选B过点C作CDOB交AO的延长线于点D，连接BC.由|1，|，AOB60，OBOC，知COD30.在RtOCD中，可得OD2
6、CD2，则2，故x2，y1，故选B.4(2019泉州南安第一中学检测)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为()Ae1e2 B2e1e2C2e1e2 D2e1e2解析：选C平移e1，e2，由图易知a2e1e2.故选C.5.(2019赣州寻乌中学期末)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则()A1 BC. D解析：选D由题知，()又因为BDABcos 601，所以，故，因此，故选D.6设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.解析：由解得故e1e2ab.答案：7(
7、2019江西临川二中高三月考)已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_解析：由题意可画出图形，如图所示，在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：908已知O为ABC内一点，2，且，若B，O，D三点共线，则实数的值为_解析：设点E为边BC的中点，则()，由题意，得，所以()，因此若B，O，D三点共线，则1，即3.答案：39已知向量a，b的夹角为60，试求下列向量的夹角(1)a与b；(2)2a与b.解：(1)如图，由向量夹角的定义，可知向量a与b的夹角为120.(2)如图，向量2a与b的夹角为60.10(2018江苏无锡一中高一月考)如图，在ABC中，已知M为BC边上一点，且满足，求ABM与ABC的面积之比解：，()()，0，3，.