1、33.2利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值1.了解函数的极大(小)值与导数的关系2.理解极大值、极小值的概念3掌握不超过三次的多项式函数的极大(小)值的求法学生用书P581极值点与极值概念名称定义表示法极值极大值已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值记作：y极大值f(x0)极小值已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值记作：y极小值f(x0)极值点若函数f(x)在x0处
2、取得极大值，则把x0称为函数f(x)的一个极大值点；若函数f(x)在x0处取得极小值，则把x0称为函数f(x)的一个极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点2.求可导函数yf(x)极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)极大值一定比极小值大()(
3、3)函数f(x)无极值()答案：(1)(2)(3)2如图是导函数yf(x)的图象，在标记的点_处，函数yf(x)有极大值()Ax2Bx3Cx5 Dx4答案：B3函数y13x2x3的极小值是_，极大值是_答案：15求已知函数的极值学生用书P58求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).【解】(1)f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)1022因此，当x1时函数取得极大值，且极大值为f(1)10；当x3时函数取得极小值，且极小值为f(3)22.(2)函
4、数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)故当xe时函数取得极大值，且极大值为f(e).求函数极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的全部实根；(3)列表，检查f(x)在方程f(x)0的根左、右两侧的值的符号；(4)判断单调性，确定极值 求函数f(x)3ln x的极值解：函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减3单调递增因此当x1时，f(x)
5、有极小值3，无极大值已知函数的极值求参数学生用书P59已知函数f(x)(kR)(1)k为何值时，函数f(x)无极值；(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.【解】(1)因为f(x)，所以f(x).要使f(x)无极值，只需让f(x)0或f(x)0恒成立即可因为ex0，所以f(x)与g(x)2x2(k4)x2k同号因为g(x)的二次项系数为2，所以只能满足g(x)0恒成立，令(k4)216k(k4)20，解得k4，所以当k4时，f(x)无极值(2)由(1)知k4，令f(x)0，得x12，x2.当2，即k4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2，)f(x)00f(x)极小值
6、极大值令f0，得2kk0，所以k0，满足k4.当2，即k4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2f(x)00f(x)极小值极大值令f(2)0，可得2222kk0，所以k8，满足k4.综上，当k0或k8时，f(x)有极小值0.已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：求函数的导数f(x)；由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数注意求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非
7、正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立，此时需注意不等式中的等号是否成立 已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值解：因为f(x)3x26axb且函数f(x)在x1处有极值0，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值所以a2，b9.函数
8、极值的综合应用学生用书P60设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数yf(x)的图象与函数ya的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围【解】(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54 a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)a有三个不同的解用求导的方法确定方程根的个数，
9、是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数 若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解：f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1，1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)，即k4.所以k的取值范围是(，4)(4，)1极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：(1)极值
10、是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)f(x1)2极值点与导数为零的点(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f(x0)0”的充分但不必要条件；(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左
11、侧和右侧f(x)的符号不同如果在x0的两侧f(x)的符号相同，则x0不是极值点1必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值点；否则不是极值点2在解答有关极值问题时，一定要注意定义域及导数不存在的情况，否则极易导致错解1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()A1B2C3 D4答案：A2函数yx(x0)在x1处取得()A极小值 B极大值C既是极大值又是极小值 D极值不存在解析：选A.当0x1时，y11时，y10.故函数yx(
12、x0)在x1处取得极小值3yx3x的极大值为_解析：y3x210，得x.当x时，y0；当x时，y0；当x(1，)时f(x)0；当x(1，)时f(x)0C当x(，1)时f(x)0D当x(，1)时f(x)0；当x(1，)时f(x)0解析：选C.因为f(x)在x1处取极小值，所以x1时f(x)1时f(x)0.2函数f(x)x2ln x的极值点为()A0，1，1B.C D.，解析：选B.由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)1或a0 Ba1C0a1或a0，解得a1.故选D.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1，0)
13、点，则f(x)的极大值，极小值分别为()A.，0 B0，C，0 D0，解析：选A.f(x)3x22pxq.由f(1)0，f(1)0，得，解得，所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x或x1，易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.6已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_解析：由题意得f(x)3x212，由f(x)0得x2，当x(，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x(2，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.答案：27函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由题知yexxex
14、，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.答案：y8.已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图所示，则函数的极小值是_解析：由图象可知，当x0时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，故x0时函数f(x)取极小值f(0)c.答案：c9已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极小值解：(1)因为当x1时，函数有极大值3，所以所以解之，得a6，b9.(2)由第一问，得f(x)18x218x18x(x1)当f(x)0时，x0或x1.当f(x)0时，0x1；当f(x)0时，
15、x1.所以函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)0.10已知函数f(x)，a0.(1)求f(0)，f(1)的值，并比较它们的大小；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)，所以f(0)，f(1).因为f(0)f(1)0，所以f(0)f(1)(2)令f(x)0，解得xa，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可知函数f(x)在xa处取得极大值f(a)，在xa处取得极小值f(a).B能力提升11函数yx32axa在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A(0，3) B(，3)C(0，) D.解析：选
16、D.y3x22a，因为函数在(0，1)内有极小值，所以y3x22a0在(0，1)内必有实数解，记f(x)3x22a，如图所以解得0a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1，4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围解：(1)由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc.因为f(x)9xax2(2b9)xc0的两个根分别为1，4，所以(*)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又因为曲线yf(x)过原点，所以d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，因为f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点，所以f(
17、x)ax22bxc0在(，)内恒成立由(*)式得2b95a，c4a，所以(2b)24ac9(a1)(a9)解得a1，9，即a的取值范围为1，914(选做题)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，所以当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，f(x)的单调递减区间为(，)(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0.所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(3，1)