1、31导数31.1函数的平均变化率1.了解平均变化率的概念2.理解函数平均变化率的意义3.掌握求函数平均变化率的方法 学生用书P441函数的平均变化率的定义已知函数yf(x)在点xx0及其附近有定义，令xxx0；yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，比值叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率2平均变化率的计算步骤(1)求自变量的改变量x(x0x)x0；(2)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(3)求.1函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，y()Af(x0x)Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)答案：D2函数y2x1在x3到x
2、5的平均变化率是()A1 B2C3 D4答案：B3函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为_，当x02，x0.1时平均变化率的值为_解析：函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2，2.1上的平均变化率为6230.112.3.答案：6x03x12.3求函数的平均变化率学生用书P44求yf(x)2x21在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x01，x时平均变化率的值【解】函数f(x)2x21在区间x0，x0x上的平均变化率为：4x02x.当x01，x时，平均变化率为4125.求平均变化率的三步曲(1)计算函数
3、值的改变量yf(x2)f(x1)(2)计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率. 已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14，且x1时，函数增量y和平均变化率；(2)求当x14，且x0.1时，函数增量y和平均变化率.解：因为f(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.(1)当x14，x1时，y2(443)121，所以21.(2)当x14，x0.1时，y20.12(443)0.10.021.91.92.所以19.2.平均变化率的比较学生用书P45已知函数f(x)3x2，计算当x01，2，
4、3，x时，平均变化率的值，并比较函数f(x)3x2在哪一点附近的平均变化率最大？【解】函数f(x)3x2在x0到x0x之间的平均变化率为2x0x，当x01，x时，平均变化率的值为，当x02，x时，平均变化率的值为，当x03，x时，平均变化率的值为，因为，所以函数f(x)3x2在x01附近的平均变化率最大函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度，此题中“函数在x3附近平均变化率的绝对值最大”说明在x1，2，3这三点中，在x3附近函数的图象最为“陡峭” 函数f(x)2x21在x1附近的平均变化率_在x3附近的变化率(填“大于”“小于”“等于”)解析：先求在x3附近的平均变化率，
5、k12x12；再求在x1附近的平均变化率可得k22x4；因为k1k22x122x480，所以填“小于”答案：小于关于函数的平均变化率的注意事项(1)函数f(x)在x0及其附近处有定义(2)x是变量x在x0处的改变量，且x是x0附近的任意一点，即xxx00，但x可以为正，也可以为负(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若xxx0，则yf(x)f(x0)；若xx0x，则yf(x0)f(x)(4)在公式中，当x0取定值，x取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当x取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的需特别注意，当函数f(x)为常数函数时，y0，则0.注意公式中分子与分母形式
6、上的对应关系，以防代入数值时出错1已知函数y，当x由2变为1.5时，函数值y的增量为()A1B2C. D.解析：选C.y1.2函数f(x)5x3在区间a，b上的平均变化率为_解析：xba，yf(b)f(a)5(ba)，5.答案：53函数f(x)x21在2到2.5之间的平均变化率为_解析：x2.520.5，yf(2.5)f(2)2.52222.25，4.5.答案：4.5 学生用书P100(单独成册)A基础达标1函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率中，x不可能是()A大于0B小于0C等于0 D大于0或小于0答案：C2已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40 B
7、0.41C0.43 D0.44解析：选B.yf(2.1)f(2)2.12220.41.3函数f(x)2x在x1附近(即从1到1x之间)的平均变化率是()A2x B2xC2 D(x)22解析：选C.yf(1x)f(1)2(1x)22x.所以2.4一质点运动的方程为s53t2，则在一段时间1，1t内质点运动的平均速度为()A3t6 B3t6C3t6 D3t6解析：选D.因为s53(1t)2(5312)3(t)26t，所以v3t6.5若函数f(x)x2c在区间1，m上的平均变化率为3，则m等于()A2 B3C4 D5解析：选A.3，故m2(m1舍去)6yx22x3在x2附近的平均变化率为_解析：因为
8、y(2x)22(2x)3(22223)(x)22x，所以x2.答案：x27如果函数yaxb在区间1，2上的平均变化率为3，则a_解析：根据平均变化率的定义，可知a3.答案：38.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在2，1上的平均变化率为_；函数f(x)在2，3上的平均变化率为_解析：从题图中可以看出f(2)1，f(1)1，f(3)3，所以函数f(x)在2，1上的平均变化率为；函数f(x)在2，3上的平均变化率为.答案：9求y在x0到x0x之间的平均变化率(x00)解：因为yf(x0x)f(x0)，所以.10若函数f(x)x2x在2，2x(x0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围
9、解：因为函数f(x)在2，2x上的平均变化率为：3x，所以由3x1，得x2.又因为x0，即x的取值范围是(0，)B能力提升11函数yx22在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0的平均变化率为k2，则()Ak1k2Ck1k2 D不确定解析：选D.k12x0x，k22x0x.所以k1k22x，因为x的正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定12已知sgt2，则t从3秒到3.1秒的平均速度是_解析：因为sg3.12g320.305g，t3.13.00.1，所以3.05g.答案：3.05g13求函数yx31在x0到x0x之间的平均变化率，并计算当x01，x时平均变化率的值解：当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为3x3x0x(x)2.当x01，x时，平均变化率的值为31231.14(选做题)求函数ysin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小解：在0到之间的平均变化率为；在到之间的平均变化率为.所以函数ysin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，因为2，故在0到之间的平均变化率较大