1、4.5.3函数模型的应用基础过关练题组一利用已知函数模型解决问题1.(2020山东青岛胶州高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=12log3Q100,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为32 m/s时,它的耗氧量的单位数为()A.900B.1 600C.2 700D.8 1002.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= cx,xa, ca,xa(a,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a件产品用时5分钟,那么c和a的值分别是()A.75,25B.75,1
2、6C.60,144D.60,163.(2020江西赣州高一期末)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年),每年投入的资金将超过400万元?(参考数据:lg 0.11-0.959,lg 1.10.041,lg 111.041,lg 20.301)4.(2020河北唐山一中高一上期中)某工厂生产过程中产生的废
3、气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含量p(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的关系为p(t)=p0e-kt(式中的e为自然对数的底数,p0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式p(t);(2)要使污染物的含量不超过初始值的11 000,至少需过滤几个小时?(参考数据:lg 20.3)题组二建立函数模型解决问题5.某商家准备在春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比()A.略有降低 B.略有提高
4、C.相等 D.无法确定6.(2020湖南益阳箴言中学高一上期中)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形中相邻两边的长x,y(8y0)B.y=mx+n(m0) C.y=max+n(m0,a0,且a1)D.y=mlogax+n(m0,a0,且a1)10.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),有两个拟合模型可供选用,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.11.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的一组数据,
5、试分别就y=aekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120 km/h时刹车后的停车距离.车速(km/h)1015304050停车距离(m)47121825车速(km/h)60708090100停车距离(m)3443546680能力提升练题组一利用已知函数模型解决问题 1.()Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K
6、时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 192.9) () A.60B.63C.66D.692.(2020北京房山高一期末,)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg xA0(其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为()A.53 B.1053C.104D.e43.(2020陕西咸阳高一期末,)在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)之间满足函数关系y=ekx+b(e=2.718 28为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在
7、0 时的保鲜时间为120小时,在30 时的保鲜时间为15小时,则该食品在20 时的保鲜时间为()A.30小时B.40小时 C.50小时D.80小时4.(2020山东泰安一中高一上期中,)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略综合试验区,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180.每台设备售价为100万元,通过
8、市场分析,该企业生产的设备能全部售完.(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;(2)当年产量为多少台时,该企业所获年利润最大?题组二建立函数模型解决问题5.()某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()6.(2021黑龙江大庆铁人中学高三上期中,)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若开始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少14,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知:lg 20.301 0,lg 30.477 1)()A.8 B.9
9、C.10 D.117.(2020福建龙岩高一上期末,)原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的22.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?8.()为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加x8万人.(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范
10、围;(2)为了布局“5G网络”,该公司拟投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)题组三拟合函数模型解决问题9.(2020湖南宁乡一中高一月考,)某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=502x D.y=100log2x+10010.(2020河北石家庄二中高一上月考,)如图
11、是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图方案是,图方案是.11.(2020辽宁大连高一上期中,)某纪念章从2019年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x(天)41036市场价y(元)905190(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:y=ax+b;y=ax2+bx+c(a0);y=logax+b(a0,且a1).
12、(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.12.(2020安徽安庆高一期末,)某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过月份x(xN)的关系有两个函数模型y=kax(k0,a1)与y=px+q(p0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;(2)问约经过几个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍?(参考数据:21.41,31.73,lg 20.30,lg 3
13、0.48)答案全解全析基础过关练1.C当v=32时,32=12log3Q100,即log3Q100=3,故Q100=33=27,所以Q=2 700.故选C.2.C显然a4,则由题意可得c4=30,ca=5,解得c=60,a=144,故选C.3.解析(1)第一年投入的资金为200(1+10%)万元,第二年投入的资金为200(1+10%)+200(1+10%)10%=200(1+10%)2万元,故第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金y(万元)与x的函数关系式为y=200(1+10%)x,其定义域为xN*|x10.(2)由200(1+10%)x400可得1.1x2,即xlg2lg1.10.3
14、010.0417.3,即企业从第8年(2019年为第一年)开始,每年投入的资金将超过400万元.4.解析(1)根据题意,得45p0=p0e-k,e-k=45,p(t)=p045t.(2)由p(t)=p045t11 000 p0,得45t10-3,两边取对数并整理得t(1-3lg 2)3,t30.因此,至少需过滤30个小时.5.A设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12a,又进行两次降价后的价格为1.12a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2a=0.992aa,因此最终售价与原来的价格相比略有降低,故选A.6.A如图所示,过点D作DEBC于点E,则HG
15、EC=DHDE,即y-824-8=20-x20,整理得y=24-45x.截取的矩形面积S=x24-45x=-45(x-15)2+180(00),则y=t-x=kx-x.当x=100时,t=1 000,1 000=10k,解得k=100,t=100x,y=100x-x.令x=m,则m0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.8.解析(1)当每件商品的售价上涨x元时,每件商品的利润为(50+x-40)元,此时的销量为(210-10x)件,每个月的销售利润y元与每件商品的售
16、价上涨的价格x元之间满足y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2 100(0x15,且x为正整数).(2)由(1)得y=-10(x-5.5)2+2 402.5.a=-100,当x=5.5时,y有最大值2 402.5.00,与y轴无限接近,但不相交,与散点图不符.故选C.10.答案甲解析对于甲:x=3时,y=32+1=10,对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.11.解析若以y=aekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得ae10k=4,ae40k=18,解得k0.050 136,a2.422 8.y=2.422 8e0.050 1
17、36x.以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.若以y=axn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a10n=4,a40n=18,解得n1.085,a0.328 9.y=0.328 9x1.085.以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得a102+b10+c=4,a402+b40+c=18,a60
18、2+b60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2.y=1150x2+215x+2.以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它比较符合实际情况.综上可知,最佳模拟函数为y=1150x2+215x+2,当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.能力提升练1.CI(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,整理可得e0.23(t*-53)=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 192.9,解得t*66,故选C.2.C设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈
19、话的声音强度为x2.由题意得f(x1)=100=10lg x1A0,f(x2)=60=10lg x2A0x1=A01010,x2=A0106,所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为x1x2=A01010A0106=104.3.A由题意可得120=eb,15=e30k+b,解得ek=18130,所以当x=20时,y=ek20+b=(ek)20eb=1813020120=30.故选A.4.解析(1)当0x80时,y=100x-12x2+40x-500=-12x2+60x-500;当x80时,y=100x-101x+8 100x-2 180-500=1 680-x+8 100x
20、.所以y=-12x2+60x-500,0x80,1 680-x+8 100x,x80.(2)当0x80时,y=-12(x-60)2+1 300,当x=60时,y取得最大值,最大值为1 300.当x80时,y=1 680-x+8 100x1 680-2x8 100x=1 500,当且仅当x=8 100x,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500.所以当年产量为90台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为1 500万元.5.D设山区第一年绿色植被的面积为a,则y=a(1+10.4%)xa=(1+10.4%)x,易知其定义域为0,+),值域为1,+),且随x的增大,y增长的速度越来越快.故选D
21、.6.D设至少应过滤n次,则210034n11 000,因此,34n120,则nlg 120lg 34=-lg20lg3-lg4=1+lg22lg2-lg310.416,又nN*,所以n11,即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D.7.解析(1)设每年砍伐面积的百分比为x0x34,则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得x=1-12110,所以所求百分比为1-12110.(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的22,则a12n10=22a,即12n10=1212,解得n=5,所以到今年为止,已经砍伐了5年.(3)设该片森林一共可砍伐m年,则a12m10=14a,即1
22、2m10=122,解得m=20,所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15(年).8.解析(1)根据题意,设该公司的总收入为W万元,则W=5010+x81-x100,0x100.若该公司月总收入不减少,则有5010+x81-x1001050,解得0x20.(2)设该公司总盈利为y万元,则y=5010+x81-x100-210+x8=-x216+x+480,0x0,且a1)显然都是单调函数,不满足题意,选择y=ax2+bx+c(a0).(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,1 2
23、96a+36b+c=90,解得a=14,b=-10,c=126.y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26,当x=20时,y有最小值,且ymin=26.故当纪念章上市20天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为26元.12.解析(1)因为y=kax(k0,a1)的增长速度越来越快,而y=px+q(p0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=kax(k0,a1),则有ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,所以y=832x.(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍,则832x=81 000,解得x=log321 000=lg1 000lg 32=3lg3-lg216.67.故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍.