1、课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值基础巩固组1.如图,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线为l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h(x0)0,x=x0不是h(x)的极值点D.h(x0)0,x=x0是h(x)的极值点2.已知函数f(x)=ex+x22-ln x的极值点为x1,函数h(x)=lnx2x的最大值为x2,则()A.x1x2B.x2x1C.x1x2D.x2x13.(2020湖南湘潭三模,理7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1
2、万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤莲藕,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤4.(多选)(2020山东济宁一中期中,10)如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:函数y=f(x)在区间-3,-12上单调递增;当x=-2时,函数y=f(x)有极小值;函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增;当x=3时,函数y=f(x)有极小值.则上述判断错误的是()A.B
3、.C.D.5.(多选)(2020福建福州三模,理11)已知函数f(x)=ln|x|-x+1x,下列四个结论中正确的有()A.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x+y-1=0B.f(x)恰有2个零点C.f(x)既有最大值,又有最小值D.若x10,x20且f(x1)+f(x2)=0,则x1x2=16.(2020河北唐山一模,文16)已知函数f(x)=a1x-2x+ln x,f(x)有极大值f(x1)和极小值f(x2),则实数a的取值范围是,f(x1)+f(x2)=.7.(2018北京,理18)设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,aR.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)
4、处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.综合提升组8.(2020山东济南三模,21)已知函数f(x)=aln(x+b)-x.(1)若a=1,b=0,求f(x)的最大值;(2)当b0时,讨论f(x)极值点的个数.9.(2020山西太原三模,21)已知函数f(x)=ln x+kx.(1)当k=-1时,求函数f(x)的极值点;(2)当k=0时,若f(x)+bx-a0(a,bR)恒成立,求ea-1-b+1的最大值.10.(2020山东烟台模拟,22)已知函数f(x)=a2x2-x(ln x-b-1),a,bR.(1)略;(2)若f(x)在(0,+)上单调递增,且
5、ce2a+b,求c的最大值.创新应用组11.(2020江苏南京六校5月联考,17)疫情期间,某小区超市平面图如图所示,由矩形OABC与扇形OCD组成,OA=30米,AB=50米,COD=6,经营者决定在点O处安装一个监控摄像头,摄像头的监控视角EOF=3,摄像头监控区域为图中阴影部分,要求点E在弧CD上,点F在线段AB上,设FOC=.(1)求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于的函数关系式,并求出tan 的取值范围;(2)求监控区域面积S最大时,角的正切值.12.(2020山东济宁6月模拟,22)已知函数f(x)=x-aln x.(1)若曲线y=f(x)+b(a,bR)在x=1处的切线方程为
6、x+y-3=0,求a,b的值;(2)求函数g(x)=f(x)+a+1x(aR)的极值点;(3)设h(x)=1af(x)+aex-xa+ln a(a0),若当xa时,不等式h(x)0恒成立,求a的最小值.参考答案课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值1.B由题意知,g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0).因为h(x0)=f(x0)-f(x0)=0,又因为当xx0时,有h(x)x0时,有h(x)0,所以x=x0是h(x)的极小值点.故选B.2.Af(x)=ex+x-1x在(0,+)上单调
7、递增,且f12=e12-320,f14=e14-1540,所以x114,12,ex1+x1-1x1=0.由h(x)=1-lnx2x2,可得h(x)max=h(e)=12e,即x2=12ex2.3.B设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x,x(0,8,即g(x)=-18x3+916ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2.故g(x)=-18x3+98x2-1,g(x)=-38x2+94x=-38x(x-6).当x(0,6)时,g(x)0;当x(6,8)时,g(x)0.所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)
8、上单调递减.所以当x=6时,利润最大.故选B.4.AD对于,由图知函数y=f(x)在区间-3,-12上有增有减,故不正确;对于,由图知当x-2时f(x)0,当-2x0,故当x=-2时,函数y=f(x)有极小值,故正确;对于,当x(-2,2)时,恒有f(x)0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故正确;对于,当x=3时,f(x)0,故不正确.故选AD.5.ABDf(x)的定义域为(-,0)(0,+).对于A,当x0时,f(x)=1x-1-1x2=-x2+x-1x2,所以f(1)=-1,所求切线方程为y-0=-(x-1),即x+y-1=0,故A正确;对于C,当x0时,f(x)=-(x
9、-12)2-34x20,x20,由f(x1)+f(x2)=0,得f(x1)=-f(x2)=-lnx2-x2+1x2=ln1x2+11x2-1x2=f1x2,因为f(x)在(0,+)上单调递减,所以x1=1x2,即x1x2=1,故D正确.故选ABD.6.0,24-ln 2由题意知f(x)的定义域为(0,+),f(x)=a-1x2-2+1x=-2ax2+x-ax2.令g(x)=-2ax2+x-a,因为f(x)有极大值和极小值,故g(x)=-2ax2+x-a在区间(0,+)上有两个不相等的实数根.故-1-2a0,-a-2a0,1-4(-2a)(-a)0,即a0,a212,则当x1a,2时,f(x)0
10、.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a12,则当x(0,2)时,x-20,ax-112x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是12,+.8.解(1)当a=1,b=0时,f(x)=lnx-x,此时,函数f(x)定义域为(0,+),f(x)=1x-12x=2-x2x,由f(x)0,得0x4,由f(x)4,所以f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+)上单调递减,所以f(x)max=f(4)=2ln2-2.(2)当b0时,函数f(x)定义域为0,+),f(x)=ax+b-12x=-x+2ax-b2x(x+b),当a0时,f(x)0时,设h(x)=-x+2ax-b,()当4
11、a2-4b0,即00,即ab时,方程h(x)=0有两个不同的实数根,记方程h(x)=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=2a0,x1x2=b0,所以x1,x2都大于0,即f(x)在(0,+)上有2个变号零点,所以,此时f(x)极值点的个数为2.综上所述,当ab时,f(x)极值点的个数为0;当ab时,f(x)极值点的个数为2.9.解(1)f(x)定义域为(0,+),当k=-1时,f(x)=lnx-x,f(x)=1x-1,令f(x)=0,得x=1,当f(x)0时,解得0x1,当f(x)1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以f(x)有极大值点为x=1,无极小值点.(
12、2)当k=0时,f(x)+bx-a=lnx+bx-a(x0).若f(x)+bx-a0(a,bR)恒成立,则lnx+bx-a0(a,bR)恒成立,所以alnx+bx恒成立.令g(x)=lnx+bx,则g(x)=x-bx2,由题意b0,函数g(x)在(0,b)上单调递减,在(b,+)上单调递增,所以g(x)min=g(b)=lnb+1,所以alnb+1,所以a-1lnb,所以ea-1b,ea-1-b+11,故当且仅当ea-1=b时,ea-1-b+1取得最大值为1.10.解(1)略(2)因为f(x)在(0,+)上单调递增,即f(x)=ax+b-lnx0在(0,+)上恒成立,设h(x)=ax+b-ln
13、x,则h(x)=a-1x,若a=0,则h(x)0,则h(x)在(0,+)上单调递减,显然f(x)=b-lnx0在(0,+)上不恒成立.若a0,则h(x)max-ba,1时,ax+b0,-lnx0,故h(x)0,当0x1a时,h(x)1a时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h1a=1+b+lna,由h(x)min0得2a+b2a-1-lna.设m(x)=2x-1-lnx,x0,则m(x)=2-1x,当0x12时,m(x)12时,m(x)0,m(x)单调递增.所以m(x)m12=ln2,所以2a+bln2.又ce2a+b,所以c2,即c的最大值为2.11.解(1)扇形EOC的面积
14、为123-502=25006-25002.四边形OCBF的面积为3050-123030tan.故阴影部分的面积S=1500+12503-509tan+25.因为0,3,tan0=35,所以tan35,3.(2)令h()=9tan+25,则h()=-9sin2-9cos2sin2+25=-9sin2+25.令h()=0得tan=3435,3.记其解为1,并且h()在0,1)上单调递减,在1,3上单调递增,所以h()的最小值为h(1),阴影部分的面积最大值为1500+12503-50h(1),此时tan1=34.即监控区域面积S最大时,角的正切值为34.12.解(1)由f(x)=x-alnx,得y
15、=f(x)+b=x-alnx+b(x0),y=f(x)=1-ax.由已知可得f(1)=-1,f(1)+b=2,即1-a=-1,1+b=2,a=2,b=1.(2)g(x)=f(x)+a+1x=x-alnx+a+1x,g(x)=1-ax-a+1x2=(x+1)x-(a+1)x2(x0),所以当a+10,即a-1时,g(x)0,g(x)在(0,+)上为增函数,无极值点;当a+10,即a-1时,则当0xa+1时,g(x)a+1时,g(x)0,g(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+)上单调递增,所以x=a+1是g(x)的极小值点,无极大值点.综上可知,当a-1时,函数g(x)无极值点;当a-
16、1时,函数g(x)的极小值点是a+1,无极大值点.(3)h(x)=1af(x)+aex-xa+lna=aex-lnx+lna(a0),由题意知,当xa时,aex-lnx+lna0恒成立,又不等式aex-lnx+lna0等价于aexlnxa,即ex1alnxa,即xexxalnxa,由xa0知:xa1,lnxa0,所以式等价于ln(xex)lnxalnxa,即x+lnxlnxa+lnlnxa,设(x)=x+lnx(x0),则原不等式即为(x)lnxa,又(x)=x+lnx(x0)在(0,+)上为增函数,原不等式等价于xlnxa,又式等价于exxa,即axex(xa0),设F(x)=xex(x0),则F(x)=1-xex,F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.又xa0,当0a1时,F(x)在(a,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,F(x)F(1)=1e,要使原不等式恒成立,须使1ea1;当a1时,则F(x)在(a,+)上单调递减,F(x)F(1)=1e,要使原不等式恒成立,须使a1e,当a1时,原不等式恒成立.综上可知,a的取值范围是1e,+,故a的最小值为1e.