1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念 学 习 目 标 1了解向量的实际背景，理解平面向量的概念2理解零向量、单位向量、两个向量平行(共线)、两个向量相等的含义3理解向量的几何表示知识点一|5Y3向量的概念和表示方法阅读教材P74P75，完成下列问题知识梳理向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量(2)向量的表示表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如，字母表示：用小写字母a，b，c，表示，手写时必须加箭头小试身手1下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；
2、功其中不是向量的有()A1个B2个C3个 D4个答案：D知识点二|向量的有关概念阅读教材P75P76，完成下列问题知识梳理1向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度(2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作：|、|a|.(3)特殊向量长度为0的向量为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量2向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：ab.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作：ab；规定零向量与任一向量平行思考辨析判断下列命题是否正确(正确的“”，错误的打“”)(1)两个向量能比
3、较大小()(2)向量的模是一个正实数()(3)单位向量的模都相等()(4)向量与向量是相等向量()答案：(1)(2)(3)(4)小试身手2下列说法正确的是()A零向量是没有方向的向量B零向量的长度为0C任意两个单位向量的方向相同D同向的两个向量可以比较大小解析：选B零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误3下列命题正确的是()A|a|b|abB|a|b|abCababD|a|0a0解析：选D对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误；对于B，两个向量不能比较大
4、小，所以错误；对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误；对于D，如果一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确4如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出_个向量解析：由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，.答案：12题型一向量有关概念的辨析【例1】给出下列命题：两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；在菱形ABCD中，一定有.其中所有正确命题的序号为_解析两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故不正确；单位向量的长度为1，当
5、所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故正确；在菱形ABCD中，|，与方向相同，故，故正确答案方 法 总 结解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.1(2019江西省六校联考)给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，则ab；若ab，则ab，其中正确命题的序号是_解
6、析：对于，当ab0时，由b0得c0，故ac；当ab0时，由向量相等的定义知a与b同向，同理b与c同向，从而a与c同向，且它们的模相等，故ac；对于，ab，则a与b同向，故ab；对于，a与b的模不一定相等，方向也不一定相同，故ab不一定成立答案：向量的表示【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45方向上；(2)，使|4，点B在点A正东方向上；(3)，使|6，点C在点B北偏东30方向上解(1)由于点A在点O北偏东45方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向
7、小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示(2)由于点B在点A正东方向上，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示(3)由于点C在点B北偏东30方向上，且|6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示.方 法 总 结作向量的思路用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量.2中国象棋中规定：马走“日
8、”字如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量或表示马走了“一步”试在图中画出马在B，C处各走“一步”的所有情况解：根据规则，画出符合要求的所有向量马在B处走了“一步”的所有情况如图(1)所示；马在C处走了“一步”的所有情况如图(2)所示图(1)图(2)题型三共线向量或相等向量互动探究【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量解(1)、.(2)、.(3)与a相等的向量有、，与b相等的向量有、，与c相等的向量有、.【探究1】本例条件不
9、变，试写出与向量相等的向量解与向量 相等的向量有、.【探究2】本例中，若|a|1，则正六边形的边长如何？解由正六边形性质知，FOA为等边三角形，所以边长AF|a|1.方 法 总 结寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线1掌握2组关系(1)向量与有向线段的关系如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段(2)平行向量、共
10、线向量与相等向量的关系平行向量也是共线向量，与有向线段的起点无关；要区别平行向量与平行直线的位置关系；将一向量按某一方向平移后，得到的向量与原向量是相等向量；相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量2辨析1个区别向量与数量的区别(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小即使有|a|b|也不能说ab，特殊地，若向量a与b是相等向量，记作ab；(3)0与0不同，虽然|0|0，但0是向量，而0是数量自测检评1.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()A和B和C和 D和解析：选B易知，故选B.2.
11、如图，在O中，向量，是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量解析：选C由图可知，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C3已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为()A向量与向量一定同向B向量，向量，向量一定共线C向量与向量一定相等D以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知，这三个向量一定为共线向量，故选B.4如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则()A BC D解析：选D由平面几何知识知，与方向不同，故；与方向不同，故；与的模相等而方向相反，故.与的模相等且方向相同，.故选D.5如图，已知小正方形的边长为1，向量，的长度分别是_解析：根据题图易得|，|.答案：、