1、9.1向量概念学 习 任 务核 心 素 养1了解向量的实际背景，理解平面向量的概念(重点)2理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义(重点、难点)3理解向量的几何表示(重点)1通过学习向量的有关概念，培养数学抽象素养2通过学习共线向量、相等向量、零向量等概念及表示，培养数学运算素养1民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班每次飞行都是民航客机的一次位移由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)2某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度43.242，平均出手速度大小为v28.35 m/s(如图乙)甲乙问题：上述实例
2、中的“位移”“速度”“力”与生活中我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？知识点1向量的定义及表示定义既有大小又有方向的量叫作向量表示方法(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；(2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示模向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|1定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？提示向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一
3、个方面1下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有_(填序号)一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量知识点2向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量a与b平行(或共线)，记作ab相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等，记作ab相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作a2(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？
4、(2)已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？提示(1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线(2)因为向量和向量方向不同，所以二者不相等又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合2思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)有向线段就是向量()(2)两个向量的模能比较大小()(3)有向线段可以用来表示向量()(4)若ab，bc，则ac(
5、)(5)单位向量的模都相等()答案(1)(2)(3)(4)(5) 类型1向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由(1)任何两个单位向量都是平行向量；(2)零向量的方向是任意的；(3)在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量；(4)对于向量a、b、c，若ab，且bc，则ac；(5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行；(6)非零向量与是模相等的平行向量解(1)错误因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)正确任何向量都有方向，零向量的方向是任意的； (3)正确由三角形中位线性质知，DEBC，向量与方向相反，是平行向量；(4)错误b
6、为零向量时，有ab且bc，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；(6)正确非零向量与的模相等，方向相反，二者是平行向量1在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)2涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量3对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量跟进训练1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等
7、且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab(4)不正确依据规定：0与任一向量平行 类型2向量的表示【例2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D(1)作出向量，；(2)求|依据向量的几何特征和代数
8、特征，分别作出向量，；进而求出|.解(1)如图(2) 由题意，易知与方向相反，故与共线，即ABCD又|，在四边形ABCD中，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，|200(千米)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量.跟进训练2(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且|，画出所有的向量(2)已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30的方向飞行2 000 km到达C地，再从
9、C地按西南方向飞行1 000 km到达D地作出向量，；问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？解(1)画出所有的向量，如图所示(2)由题意，作出向量，如图所示，依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC2 000 km又因为ACD45，CD1 000 km，所以ACD为等腰直角三角形，即AD1 000 km，CAD45所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km 类型3共线向量【例3】(对接教材P6例2)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数有_个8如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，共8个1(变条
10、件)在本例中，与向量同向且长度为2的向量有多少个？解与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个2(变条件)在本例中，与向量相等的向量有多少个？解题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个1寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线2寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量1(多选题)下列说法正确的是()A零向量的长度为零B零向量与任一向量都是共线向量C零向量没有方向D零向量的方向是任意的
11、ABD零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错误，故选ABD2下列说法中正确的个数是()身高是一个向量；AOB的两条边都是向量；温度含零上和零下，所以温度是向量；物理学中的加速度是向量A0 B1 C2 D3B向量具有大小和方向两个要素，故只有正确，选B3设M是等边ABC的中心，则，是()A有相同起点的向量 B相等的向量C模相等的向量 D平行向量CM是等边ABC的中心，故|，选C4在RtABC中，BAC90，且|1，|2，则|_因为|2|2|25，所以|5如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中，回答下列问题(1)模与
12、a的模相等的向量有多少个；(2)请列出与a的长度相等，方向相反的向量；(3)请列出与a共线的向量；(4)请一一列出与a，b，c相等的向量解(1)满足条件的向量有23个(2)与a的长度相等，方向相反的向量有，(3)与a共线的向量有，(4)与a相等的有，；与b相等的有，；与c相等的有，回顾本节知识，自我完成以下问题：1向量与数量相同吗？提示不同数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向数量可以比较大小，向量不能比较大小2向量与有向线段有何区别和联系？提示区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自
13、由移动的联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段3向量平行具备传递性吗？举例说明提示向量的平行不具备传递性，即若ab，bc，则未必有ac，这是因为，当b0时，a，c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学，被称为矢量很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384前322)就知道了力可以表示成向量“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,16421727)向量是一种带几何性质的量，除零向
14、量外，总可以画出箭头表示方向，线段长表示大小的有向线段来表示它1806年，瑞士人阿尔冈(RArgand,17681822)以表示有向线段或向量1827年，莫比乌斯(Mbius,17901868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受另外，哈密尔顿(WRHamilton,18051865)、吉布斯(JWGibbs,18391903)等人则以小写希腊字母表示向量1912年，兰格文用 表示向量，后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中为了方便印刷，用粗黑体小写字母a，b等表示向量，这两种符号一直沿用至今向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的1797年，丹麦数学家威塞尔(CWessel,17451818)利用坐标平面上的点(a，b)表示复数abi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量你能体会用符号表示向量的优越性吗？
