1、1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时三角函数的定义Q 唐朝诗人王之涣留给后人的佳作登鹳雀楼不仅刻画了祖国的壮丽山河，而且写出了登高望远的襟怀其中一句“欲穷千里目，更上一层楼”更揭示了“只有站得高，才能看得远”这一生活哲理，成为不朽名句如果从数学角度推理，以自己为中心，要看到千里内(方圆五百千米)的景物，应登多少层楼呢？X 1任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以_单位长度_为半径的圆为单位圆(2)三角函数的定义如图，如果一个锐角的终边与单位圆的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，我们用点P的坐标表示sin，
2、cos，tan时，可以得出siny，cosx，tan；当为任意角时，我们将这种用坐标表示三角函数的方法能推广到任意角，如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：_y_叫做的正弦，记作sin，即siny；_x_叫做的余弦，记作cos，即cosx；_叫做的正切，记作tan，即tan(x0)正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数由三角形相似的知识，我们也可以利用角终边上任意一点的坐标来定义三角函数设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，那么：比值叫做的正弦，记作sin，即sin_；比值叫做的余弦，
3、记作cos，即cos_；比值叫做的正切，记作tan，即tan_.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)知识点拨(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数(3)定义域：如表所示三角函数解析式定义域正弦函数ysinx_R_余弦函数ycosx_R_正切函数ytanx_x|xk，kZ_2.三角函数值的符号sin、cos、tan在各个象限的符号如下：知识点
4、拨正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正3公式一(kZ)sin(2k)_sin_，cos(2k)_cos_，tan(2k)_tan_.知识点拨该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应Y 1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应()(2)sin，
5、cos，tan的值与点P(x，y)在角终边上的位置无关()(3)不存在角，使得sin0，cos0，tan0Bm0Cm0Dm的符号不确定解析sin0，cos0.4(2018江西高安中学期末)已知角的终边经过P(1,2)，则tancos等于_.解析由三角函数的定义，tan2，cos，tancos.H 命题方向1利用三角函数的定义求三角函数值典例1(1)若角的终边与单位圆的交点是P(x，)，则sin_，cos_，tan_.(2)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos，则_.(3)若角的终边在直线yx上，求sin，cos，tan的值思路分析(1)先求出x的值，再计算；(2)利用三角函数的定义的推广求
6、解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解解析(1)依题意，x2()21，解得x，于是sin，cos，tan.(2)角的终边经过点P(x，6)，且cos，cos，解得x，P(，6)，sin，tan，则.(3)设P(a，a)(a0)是其终边上任一点，则tan，r2|a|，当a0时，sin，cos；当a0，sin0，cos2300.于是sin105cos2300.(2)0，tan0.sintan0，得角的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上由sin0，得角的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上综上可得，角的终边在第四象限规律总结(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(
7、2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律跟踪练习2(1)判断下列各式的符号：sin3cos4tan5；是第二象限角，sincos.(2)若cos0，则是第(C)象限角A一B三C一或三D任意象限角解析(1)3，4，50，cos40，tan50.是第二象限角，sin0，cos0，sincos0.(2)由cos0，知是第二象限角，所以是第一或三象限角命题方向3诱导公式(一)的应用典例3求下列各式的值(1)costan()；(2)sin810tan765cos360.思路分析利用诱导公式(一)，将任意角的三角函数转化为02(或0360)角的三角函数解析(1)原式cos(8)tan(4)costan1.(
8、2)原式sin(236090)tan(236045)cos(3600)1111.规律总结利用诱导公式(一)求三角函数值：(1)解此类问题的方法是先借助于终边相同的角的诱导公式把已知角化归到0,2)之间，然后利用公式化简求值在问题的解答过程中，重在体现数学上的化归(转化)思想(2)要熟记特殊角的三角函数值，这是解题的基础跟踪练习3求值：(1)sin(1 740)cos1 470cos(660)sin750tan405；(2)sin2tan2()tan.解析(1)原式sin(605360)cos(304360)cos(602360)sin(302360)tan(45360)sin60cos30co
9、s60sin30tan4512.(2)原式sin2(4)tan2(2)tan(2)sin2tan2tan()2()21.X 分类讨论思想在化简三角函数式中的应用 典例4设角的终边不在坐标轴上，求函数y的值域解析当是第一象限角时，sin，cos，tan均为正值，3.当是第二象限角时，sin为正值，cos，tan为负值，1.当是第三象限角时，sin，cos为负值，tan为正值，1.当是第四象限角时，sin，tan为负值，cos为正值，1.综上可知，函数y的值域为1,3规律总结对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论跟踪练习4若sincos0，则的终边在(B)A第一或第二象限B第一或第三象限C
10、第一或第四象限D第二或第四象限Y 三角函数定义理解中的误区 典例5已知角的终边过点P(3m，m)(m0)，则sin_.错解一由题意可得：|OP|m，所以sin.故填.错解二由题意可得，|OP|m，所以sin.故填.错因分析错解一误认为只有m0的情况而得到，错解二对正弦与余弦函数定义中比的顺序颠倒而得sin.正解或由题意可得，|OP|m|.当m0时，|OP|m|m，则sin.当m0时，是第四象限角，r|PO|5t.sin，cos，tan；当t0时，是第二象限角，r|PO|5t，sin，cos，tan.K 1角的终边上有一点P(1，1)，则sin的值是(B)ABCD1解析利用三角函数定义知：sin.2在ABC中，若sinAcosBtanC0.sinAcosBtanC0，cosBtanC0，tan0知终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tan0知终边在第二、四象限综上知为第二象限角5利用定义求sin、cos、tan的值解析如图所示，在坐标系中画出角的终边设角的终边与单位圆的交点为P，则有P(，)tan1，sin，cos.
