1、莱钢高中高三模拟试题 数学理科 2013.4第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设（i为虚数单位），则（）A B C D 2、设全集，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A BC D3、下列判断错误的是（ ）A“”是“a b”的充分不必要条件B命题“”的否定是“”C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D若为假命题，则p，q均为假命题4、函数的图像关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图像的一个对称中心是A B C D5、已知向量a，若向量与垂直，则的值为（ ）A B7 C
2、 D6若右边的程序框图输出的是，则条件可为（ ）A B C D7、展开式中不含项的系数的和为（ ）A.-1 B. 1 C. 0 D.2 8、设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为（ ）9、已知函数有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为AB CD10、关于x的不等式在上恒成立, 则实数k的取值范围为A B C D11、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）12定义域为a，b的函数图像的两个端点为A、B，M（x，y）是图象上任意一点，其中,已知向量，若不等式恒成立，则称函数上
3、“k阶线性近似”。若函数在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为ABCD第卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13、从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；14、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是 15、设实数满足，则的取值范围是 16、已知为锐角的外心，若=+,且，则的值是 三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、(本小题满分12分)已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值（3）已知中，角
4、的对边分别为若求边的最小值.18、(本小题满分12分)现有长分别为、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根（）当时,记事件抽取的根钢管中恰有根长度相等，求；（）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,求的分布列；令，求实数的取值范围19、(本小题满分12分)在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值. 20、(本小题满分12分)设数列为等差数列，且，数列的前项和为，且；， （）求数列,的通项公式； （）若，为数列的前项和. m,求m
5、的最小值.21、(本小题满分13分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、 三点. （1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程22、（本小题满分13分）设 ()若对一切恒成立，求的最大值.（）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；（）求证：.一、 选择题DBDAA CCBBA CD二、 填空题13 14、 15、 16、17、 - -3分（1）的最小正周期 -4分（2） 当，即时， -6分当或时，即或时，-8分
6、（3） -10分b+c=2 当且仅当b=c时取等号 a的最小值是1 -12分18解：()事件为随机事件， 4分（）可能的取值为 23456的分布列为： 9分 10分，12分19、()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 5分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分20、解：() 数列为等差数列，公差,易得 所以 .2分由，令，则，又，所以.，则. 3分由 当时，得，两式
7、相减得.即 又.所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.5分（）. 6分 两式相减得. 8分所以 9分从而. 11分m m的最小值是-12分21、【解析】：（1）设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程，得解得.椭圆的方程（3分）（2），设边上的高为 当点在椭圆的短轴顶点时，最大为，所以的最大值为设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6所以，所以的最大值为所以内切圆圆心的坐标为-7分（3）将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得-9分直线的方程为：，它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为-11分下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，因此结论成立综上可知直线与直线的交点住直线上-13分22.解：（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a，1分a0，f（x）=ex-a=0的解为x=lnaf（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， 3分f（x）0对一切xR恒成立，-alna0，alna0，amax=1 4分（II）设是任意的两实数，且，故 5分不妨令函数，则上单调递增， 6分，恒成立=故 8分（III）由（1） 知exx+1，取x=,得1- 即 10分累加得 13分