1、专题突破提升练(四)直线、圆与圆锥曲线的交汇问题命题点一直线与圆问题题型：选择、填空题难度：中、低命题指数：1.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y22y3，直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则OAB的面积为()A1B.C2D2【解析】圆C的圆心为(0，1)，半径为2，直线l过点(1,0)且斜率为1，故其方程为xy10，所以圆心到直线l的距离为d，弦长|AB|22，又坐标原点O到AB的距离为，所以OAB的面积为21.【答案】A2设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2y22相切，则a的值为_【解析】由题意得直线方程为yxa，由直线与圆相切
2、的性质得，a2.【答案】23在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为_【解析】设点M(x，y)，由|MA|2|MO|知，2，化简得x2(y1)24，所以点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆D，又点M在圆C上，故圆C与圆D相交或相切，所以1|CD|3，而CD，所以13，解得0a.【答案】命题点二直线与圆锥曲线问题题型：选择、填空、解答题难度：中、高命题指数：1.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A. B. C. D3【解析】设与直线4x3y80平行且
3、与抛物线相切的直线方程为4x3yt0，与抛物线yx2联立得3x24xt0，由1612t0得t，两条平行线间的距离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得d.【答案】A2双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上若l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是()A. B2 C. D.【解析】双曲线的左焦点F1(c,0)，右焦点F2(c,0)，渐近线l1：yx，l2：yx.因为点P在第一象限内且在l1上，所以设P(x0，y0)，x00.因为l2PF1，l2PF2，所以PF1PF2，即|OP|F1F2|c，即xyc2.又因为y0x0，代入得x
4、2c2，解得x0a，y0b，即P(a，b)，所以kPF1.l2的斜率为，因为l2PF1，所以1，即b2a(ac)a2acc2a2，所以c2ac2a20，所以e2e20，解得e2，所以双曲线的离心率e2，故选B.【答案】B3抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_【解析】设抛物线方程为y22px(p0)，因为焦点F与双曲线的右焦点重合，故F(3,0)，所以3，p6，抛物线方程为y212x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点P(2,0)且斜率为1的直线方程为yx2，代入抛物线方程得x
5、216x40，x1x216，弦中点到抛物线准线的距离为11.【答案】114(2015百校联盟模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.()求证原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；()任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求PAB面积的最大值【解】(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)()当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y
6、1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.()当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，结合椭圆C的方程可得|AB|.当直线AB的斜率存在时，由()可得|AB|x1x2| ，当k0时，|AB|，当且仅当k时等号成立当k0时，|AB|.所以|AB|的最大值为，又点P到直线AB的最大距离为2.所以SPAB的最大值为1
7、.5(2015石家庄一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A为椭圆上一点，F1AF260，且SF1AF2.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【解】(1)由e可得a24c2，SF1AF2|AF1|AF2|sin 60，可得|AF1|AF2|4，在F1AF2中，由余弦定理可得|F1A|2|F2A|22|F1A|F2A|cos 604c2，又|AF1|AF2|2a，可得a2c23，联立得a24，c21.b23，椭圆C的方程为1
8、.(2)设点P(x0，y0)，由得(4k23)x28kmx4m2120，由题意知64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230，x0，y0，P.由得Q(4,4km)，假设存在点M，坐标为(x1,0)，则，(4x1,4km)以PQ为直径的圆恒过M点，0，即4x1x30，(4x14)x4x130对任意k，m都成立则解得x11，故存在定点M(1,0)符合题意命题点三直线、圆与圆锥曲线问题题型：选择、填空、解答题难度：中、高命题指数：1.若圆x2y24x90与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1
9、【解析】解方程组得或因为圆与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以A(0，3)，B(0,3)，a3,2c18，b272，即双曲线方程为1.【答案】A2直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为_【解析】由得x23x40，所以xA1，xD4，所以yA，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)，所以AFyA1，DFyD15，.【答案】3过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_【解析】E为PF的中点，()，
10、令右焦点为F2，则O为FF2的中点，则PF22OEa，E为切点，OEPF，PF2PF，PFPF22a，PFPF22a3a，在RtPFF2中，PF2PFFF，即9a2a24c2，离心率e.【答案】4已知椭圆E：1(ab0)，F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2(c,0)到直线l：x的距离为3.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求证：为定值【解】(1)由题意知，2|F1
11、F2|MF1|MF2|，即22c2a，得a2c，e.又由c3，解得c1，a2，b.椭圆E的方程为1.(2)假设存在以原点为圆心，r为半径的圆满足条件若圆的切线的斜率存在，并设其方程为ykxm，则r，r2.由消去y，整理得(34k2)x28kmx4(m23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又，x1x2y1y20，4(1k2)(m23)8k2m23m24k2m20，化简得m2(k21)，r2，所求圆的方程为x2y2.若直线AB的斜率不存在，则A(x1，y1)，B(x1，y1)由0，得xy0，xy，代入1，得x.此时仍有r2|x|.综上，总存在以原点为圆心的圆：x2y2满足题设条件(3)证明：点A在椭圆上，故设A(|OA|cos ，|OA|sin )，代入椭圆方程，得.又由于，可设B，同理，得.为定值