1、1(2015课标，7，易)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.【答案】A如图所示，在ABC中，.又3，.2(2015安徽，8，中)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)【答案】D如图，在等边ABC中，2a，2ab，b.又|2，|2，|b|2，|a|1，a与b的夹角为120，ab|a|b|cos 1201.A，B，C不正确4ab2，又，故D正确3(2015课标，13，易)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_【解析】因为ab与a2b平行，所以存在实数，使ab(a2b)，即()a(1
2、2)b0，由于a，b不平行，所以解得.【答案】4(2015江苏，6，易)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_【解析】由manb(9，8)得，m(2，1)n(1，2)(9，8)，即(2mn，m2n)(9，8)，解得mn3.【答案】35(2015北京，13，易)在ABC中，点M，N满足2，若xy，则x_；y_.【解析】如图，在ABC中，()，x，y.【答案】1(2013辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B.C. D.【答案】A(3，4)，|5.与同方向的单位向量为.故选A.2(2012广东，3，易)若
3、向量(2，3)，(4，7)，则()A(2，4) B(2，4)C(6，10) D(6，10)【答案】A(2，4)，故选A.3(2014浙江，8，中)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2【答案】D根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min|ab|，|ab|与min|a|，|b|的大小不确定；因为|ab|2|a|2|b|22ab，|ab|2|a|b|22ab，则当ab0时，max|ab|2，|ab
4、|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2；当ab0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0(1)结合律：( a)a(a)；(2)第一分配律：()aa a；(3)第二分配律：(ab)ab(1)(2014课标，6)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.(2)(2013四川，12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_【解析】(1)如图，()2.(2)如图，因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.【答案】(1)A(2)2【点拨】解题(1)时注意向量加法平行四边形法则的运用；解题(2)的思路是在平行四边形中把用表示，
5、结合已知条件求出的值 向量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解(2014福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2C3 D4【答案】D依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以2，2，所以4，故选D.考向2共线向量定理、
6、平面向量基本定理及应用1向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数使得ba，则向量b与a共线(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数，使得ba.(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数，使得(如图所示)2向量共线定理的应用(1)证明点共线；(2)证明两直线平行；(3)已知向量共线求字母的值(或范围)3平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底(2)平
7、面向量基本定理的实质平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算4平面向量基本定理的应用(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，那么a，e1，e2共面(2)根据向量基本定理求字母的值(或范围)(1)(2014福建，8)在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)(2)(2013江苏，10)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，
8、2为实数)，则12的值为_(3)(2015安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_【解析】(1)方法一：若e1(0，0)，e2(1，2)，则e1e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，因为，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a(3，2)，若e1(0，0)，e2(1，2)，不存在实数，使得ae1 e2，排除A；若e1(1，2)，e2(5，2)，设存在实数，使得ae1 e2，则(3，2)(5，22)，所以解得所以a2e1e2，故选B.(2)()
9、，又12，1，2.12.(3)方法一：由，得()()，则0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得ABAT，T，M，N三点共线，.【答案】(1)B(2)(3)【点拨】题(1)利用平面向量基本定理求解；解题(2)的思路是先在ABC中用和表示，然后根据已知条件对应求出1，2；解题(3)时注意基底的选取 1.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别
10、与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)(5)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.2用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量(2012大纲全国，9)ABC中，AB边的高为CD，若a，b，a
11、b0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab【答案】Dab0，ACB90，AB，CD.BD，AD，ADBD41.()ab.考向3平面向量坐标运算的应用1平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)(3)若a(x，y)，R，则a(x，y)2向量平行的坐标表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件为x1y2x2y10.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)
12、(y2y1)0.ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定3平面向量中的重要结论(1)|a|b|ab|a|b|.(2)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)(3)G为ABC的重心0G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(1)(2012重庆，6)设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C2 D10(2)(2013北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_【解析】(1)由a(2，1)，b(1，2)，ab
13、(3，1)，|ab|.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3),cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即解得2，4.【答案】(1)B(2)4【点拨】解题(1)时注意应用向量平行与垂直的坐标表示；解题(2)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a，b，c的坐标，利用a，b，c之间的关系，列出方程组求解 向量坐标运算问题的一般思路向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运
14、算法则以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题(2014陕西，13)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _【解析】因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .【答案】1(2015河北邯郸一模，5)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若(manb)(a2b)，则等于()A2 B2 C D.【答案】C由题意得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故选C.2(2015青海西宁质检，6)已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P
15、满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点【答案】D，22，P是AC边的一个三等分点3(2015山东日照一模，5)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab【答案】B如图，DEFBEA，DFBADEBE13，过点F作FGBD交AC于点G，FGDO23，CGCO23，b，a，ab.故选B.4(2015吉林长春调研，7)已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若abc0，则角A为()A. B.C. D.
16、【答案】AG为ABC的重心，0.abc0，0，ac0，bc0，ac，bc，cos A，A.5(2014广东佛山二模，6)设(1，2)，(a，1)，(b，0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A2 B4 C6 D8【答案】D方法一：由题意可得，(1，2)，(a，1)，(b，0)，所以(a1，1)，(b1，2)又A，B，C三点共线，即(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)4448，当且仅当时，取“”故选D.方法二：kAB，kAC，A，B，C三点共线，所以kABkAC，即，2ab1，所以4428，的最小值是8.思路点拨：先由A，B，C三点共线，找出
17、a，b的关系，然后把“1”代换，利用基本不等式求解6(2015河南开封月考，13)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c0)，且|OC|2，若，则实数，的值分别是_【解析】|2，|21c24，c0，c.，(1，)(1，0)(0，1)，1，.【答案】1，7(2015山西临汾模拟，15)如图，ABC中，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，则_【解析】由0，知G为ABC的重心，取AB的中点D，则()，由P，H，Q三点共线，得1，则6.【答案】68(2014山西阳泉三模，14)设O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为_【解析】设AC，B
18、C的中点分别为M，N，则已知条件可化为()2()0，即240，所以2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，SAOCSANCSABCSABC，所以3.【答案】31(2015山东，4，易)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2【答案】D，且，()2|cos 60|2a2a2a2.故选D.2(2015重庆，6，易)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D【答案】A设|b|x，a，b，则|a|x，abx2cos .(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)0，3a22ab3ab2b20，
19、即3x2x2cos 2x20，cos ，cos .0，故选A.3(2015湖北，11，易)已知向量，|3，则_【解析】()29.【答案】91(2014重庆，4，易)已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.【答案】C2a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，得4k660，解得k3.故选C.2(2013湖北，6，易)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D【答案】A由(2，1)，(5，5)，得15，|5.|cos ，|cos ，.故选A.3(2013湖南，8，中)已知a，b是
20、单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.C.1 D.2【答案】C建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量，可设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点C(x，y)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆而|c|，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max1，故选C.4(2012广东，8，难)对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. B1 C. D.【答案】C根据题中给定的两个向量的新运算可知
21、ab，ba，又由可得cos 0可得01，于是0，将代入后得2cos2，又由于ab，所以ab2cos2(nZ)，于是14|a|，则SminS34|a|b|cos b24|a|b|b2|b|2b20，故正确若|b|2|a|，则SminS38|a|2cos 4|a|28|a|2，2cos 1，故错误【答案】考向1平面向量的垂直与夹角1平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫作向量a与b的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：0a0.(
22、3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定2平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.3平面向量数量积的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2.(2)|a
23、|.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)cos .(4)abab0x1x2y1y20.x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件(1)(2014四川，7)平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1 C1 D2(2)(2014天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.(3)(2013山东，15)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，
24、则实数的值为_【解析】(1)cmab(m4，2m2)，ac5m8，bc8m20.由两向量的夹角相等可得，即为，解得m2.(2)以，为基向量，则()()22(1)4()2(1)1.(1)(1)2(1)(1).由可得.(3)，0，()0，即()()220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)|cos 120940，解得.【答案】(1)D(2)C(3)【点拨】题(1)考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式，求解时先进行运算，最后代入坐标，使解题过程简洁；题(2)根据条件把，分别用，表示，然后根据向量数量积公式得方程组求解；解题(3)的方法是根据0列出等量关系求出. 平面向量数量积的应用(1)
25、根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，abab0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角(1)(2011课标全国，10)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题p1：|ab|1p2：|ab|1p3：|ab|1p4：|ab|1其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3Cp2，p3 Dp2，p4(2)(2014湖北，11)设向量a(3，3)，b(1，1)，若(ab)(ab)，则实数_(1)【答案】A|a|b
26、|1，且0，若|ab|1，则(ab)21，a22abb21，即ab，cos ab，；若|ab|1，同理求得ab，cos ab，p1，p4正确，故选A.(2)【解析】ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)，(ab)(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得3.【答案】3考向2平面向量的模及其应用求平面向量的模的公式(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x，y)，则|a|.(1)(2014课标，3)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5(2)(2014湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点
27、D满足|1，则|的最大值是_【解析】(1)由|ab|得a2b22ab10，由|ab|得a2b22ab6，得4ab4，ab1，故选A.(2)方法一：设D(x，y)，由(x3，y)及|1可知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)，|，问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3，0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.方法二：设D(x，y)，则由|1，得(x3)2y21，从而可设x3cos ，ysin ，R.而(x1，y)，则|，其中sin ，cos .显然当sin()1时，|有最大值1.方法三：，设a(
28、2，)，则|a|，从而a，则|a|a|1，当a与同向时，|有最大值1.【答案】(1)A(2)1【点拨】解题(1)时注意先求模的平方，再用加减运算求解；题(2)方法一利用几何意义将问题转化为几何问题；方法二采用换元法将问题转化为求三角函数的最值；方法三利用向量运算性质求解 1.求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解2求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解(2)几
29、何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解(2015河南开封模拟，14)已知向量a与b垂直，|a|2，若使得(ac)(bc)0的c的模的最大值为，则|b|_【解析】因为(ac)(bc)abc2(ab)c0且a与b垂直，所以c2(ab)c，|c|ab|cos |ab|(为ab与c的夹角)，由题意知|ab|，得|b|1.【答案】11(2015河北承德质检，4)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下列结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab【答案】B因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，即ab0，所以ab.故选B.2(2015浙江温州二模，5
30、)已知|a|1，ab，(ab)21，则a与b的夹角等于()A30 B45 C60 D120【答案】C设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos ，且|a|1，所以|b|cos .又|ab|2|a|2|b|22ab1，即1|b|211，故|b|1.由得cos .又0，180，所以60.故选C.3(2015河南驻马店质检，6)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】C因为()(2)0，即()0，()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.4(2015上海嘉定模拟，15)已知i，j，k表示共面的三个单位
31、向量，ij，那么(ik)(jk)的取值范围是()A3，3 B2，2C1，1 D1，1【答案】D由ij，得ij0，又i，j为单位向量，|ij|，则(ik)(jk)ij(ij)kk2(ij)k1|ij|cosij，k1cosij，k1，又1cosij，k1，(ik)(jk)的取值范围是1，1故选D.5(2015福建莆田一模，6)已知a，b，c均为单位向量，且|ab|1，则(ab)c的取值范围是()A0，1 B1，1C， D0，【答案】C由a，b为单位向量和|ab|1的几何意义，可知|ab|，设ab与c的夹角为，则(ab)c|ab|c|cos ，cos 1，1，(ab)c的取值范围为，6(2014湖
32、南九校联考，9)对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n|m|n|sin ，其中为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()A若a*ba*c，则bc B(a*b)ca(b*c)Ca*b(a)*b D(ab)*ca*cb*c【答案】Ca，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为，b，c夹角为，则(a*b)c|a|b|sin c，a(b*c)|b|c|sin a，故B不正确；a*b|a|b|sin |a|b|sin()(a)*b.故选C.7(2015山东淄博一模，14)若a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则b与ab的夹角的取值范
33、围是_【解析】设a，b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，因为|a|b|，所以四边形OACB是菱形，设BOC，则OBC2，在OBC中，由正弦定理可得，化简得cos ，由得，所以，所以b，ab.【答案】8(2014江西南昌二模，12)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc；若a(1，k)，b(2，6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)【解析】命题明显错误由两向量平行的充要条件得162k0，k3，故命题正确由|a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得a与ab的夹角为30，命题错误【答案】
34、1(2015天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_【解析】如图，分别过C，D作CNAB于N，DMAB于M，则AMBN，CDMN1.()()24122，当且仅当，即时等号成立，此时有最小值.【答案】2(2015江苏，14，难)设向量ak(k0，1，2，12)，则 (akak1)的值为_【解析】akak1coscoscoscossinsinsincoscossincoscoscossincoscos， (akak1)12cossincoscos6049.【答案】93(2015浙江，15，难)已知e1，e2
35、是空间单位向量，e1e2.若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_【解析】e1e2|e1|e2|cose1，e2cose1，e2，e1，e2.不妨设e1，e2(1，0，0)，b(m，n，t)则由题意知be1mn2，be2m.解得n，m，b.b(xe1ye2)，|b(xe1ye2)|2t2.由题意，当xx01，yy02时，|b(xe1ye2)|2取到最小值1.此时t21，故|b|2.【答案】1224(2015广东，16，12分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos
36、 x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)m，n(sin x，cos x)，mn，mnsin xcos x0，即sin xcos x，tan x1.(2)由题意知，|m|1，|n|1，mnsin xcos xsin.而mn|m|n|cosm，ncos.sin，又x，x，x，x.1(2012湖南，7，中)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B. C2 D.【答案】A()21，5，即23cos A5，cos A.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A3，BC，故选A.思路点拨：先根据数量积求出角A的三角函数值，再由余弦定理求BC.
37、2(2012江西，7，中)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则()A2 B4 C5 D10【答案】D方法一：以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系设A(a，0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2|PB|2(a2b2)10|PC|2，故10.方法二：因为，且2，两式平方相加得22222424242202，故10.3(2014安徽，10，难)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab)曲线CP|acos bsin ，02，区域P|0r|R，rR若C为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3RCr1R3
38、D1r3R【答案】A由题意，可取a(1，0)，b(0，1)，则(，)，(cos ，sin )，(cos ，sin )，|2(cos )2(sin )252(cos sin )54sin.02，1|29，即1|3.因为C为两段分离的曲线，结合图象(如图)可知，1rR3.故选A.4(2012天津，7，难)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若，则()A. B.C. D.【答案】A如图，()()，.又，(1)，代入上式得(1)(1).(*)ABC为等边三角形，且|2，|cos 60222，|24，|24，代入(*)式得42410，即(21)20，故选A.5(2014江苏，12
39、，易)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_【解析】由题意，所以22，代入数据得22564，解得22.【答案】226(2012北京，13，中)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_【解析】以D点为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)设E(x，1)，那么(x，1)，(0，1)，1.(1，0)，x.正方形的边长为1，x的最大值为1，故的最大值为1.【答案】117(2012上海，12，中)在平行四边形ABCD中，A，边AB，AD的长分别为2，1.若
40、M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_【解析】方法一：因为点M，N分别在边BC和CD上，可设k0，1，则()()(k)(k)2kkk2k24214k21kk12k252kk2(k1)262，5，k0，1方法二：建立平面直角坐标系，如图则B(2，0)，C，D.令，则M，N.225(1)26.01，2，5【答案】2，58(2013江苏，15，14分，易)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值解：(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21
41、，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得，cos cos()由0，得0，又0，所以，.考向1平面向量在平面几何中的应用向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ababx1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，常用公式：cos .(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.(1)(2013福建，7)在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10
42、(2)(2013天津，12)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_【解析】(1)(1，2)(4，2)0，故.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S|25，故选C.(2)方法一：由题意可知，.因为1，所以()1，则221.因为|1，BAD60，所以|，因此式可化为1|21.解得|0(舍去)或，所以AB的长为.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60，可知AM，DM.设|AB|m(m0)，则B(m，0)C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以，.由1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的长
43、为.【答案】(1)C(2)【点拨】解题(1)的关键是利用向量证明ACBD；解题(2)的方法一是利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二是建立合适的平面直角坐标系，用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键 用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系(2013课标，13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_【解析】方法一：()2222222.方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0
44、)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，(1，2)，(2，2)，则(1，2)(2，2)1(2)222.【答案】2考向2平面向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识(1)(2014山东，12)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_(2)(2013辽宁，17，12分)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.若|a|b|，求x的值；设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【解析】(1
45、)在ABC中，|cos Atan A，|.由三角形面积公式，得S|AB|AC|sin A.(2)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，sin x，x.f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.f(x)的最大值为.【点拨】解题(1)的关键是利用向量知识求出|的值；解题(2)时注意角x的取值范围 向量与三角函数综合问题的特点与解题思路(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期
46、性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法(2)对于三角函数求最值问题，大都有两种形式：一种是化成yAsin(x)或yAcos(x)的形式，另一种是化成yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的形式(2015安徽宣城模拟，17，12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1.(1)判断ABC的形状；(2)求边长c的值；(3)若|2，求ABC的面积解：(1)由1，得bccos Aaccos B，由正弦定理，即sin Bcos Asin Acos B，sin(AB)0，AB，即ABC是等腰三角形(2)由1，得bccos A1，又bc1，则b2c2a
47、22，又ab，c22，即c.(3)由|2，得2b228，b2，又c，cos A，sin A，SABCbcsin A2.1(2015安徽铜陵质检，6)已知向量(2，2)，(4，1)，在x轴上存在一点P使有最小值，则点P的坐标是()A(3，0) B(2，0) C(3，0) D(4，0)【答案】C设点P的坐标为(x，0)，则(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时，有最小值1.此时点P的坐标是(3，0)2(2015湖北宜昌一模，6)已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3450，则AOC的面积为()A. B. C. D.【答案】A由题设，得354，
48、即92352516，cosAOC，sinAOC，SAOC11.3(2015辽宁大连质检，8)设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于()A0 B2 C4 D2【答案】D由题意得c，S四边形PF1QF22SPF1F22|F1F2|h(h为F1F2边上的高)，所以当hb1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时F1PF2120，|2.所以| |cos 120222.4(2014湖南长沙二模，6)如图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2 B. C D.【答案】D以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系
49、，如图设B(xB，0)，D(0，1)，C(xC，yC)，(xCxB，yC)，(xB，1)，xCxBxBxC(1)xB，yC，(1)xB，)，(0，1)，.5(2014河北石家庄一模，6)已知点G为ABC的重心，A120，2，则|的最小值是()A. B. C. D.【答案】C设BC的中点为M，则.又M为BC中点，()，()，|.又2，A120，|4.|，当且仅当|时取“”，|的最小值为，故选C.6(2015河南周口一模，14)已知点O为ABC的外心，且|4，|2，则_【解析】因为点O为ABC的外心，且|4，|2，所以()|cos，|cos，|6.【答案】67(2015山东临沂质检，14)在直角梯
50、形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_【解析】由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B(2)222222cos 304，AC2，ACBC2，CAB30，DAC60.AD1，AE1，2，|2()2|2|21(2)221122，2，|1，2，2，.【答案】8(2015山西太原一模，14)设G是ABC的重心，且sin A3sin B3sin C0，则角B的大小为_【解析】sin A3sin B3sin C0，设三角形的边长顺次为a，b，c，由正弦定理得a3b3c0，由点G为ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3，3，3，代入上式得：
51、a()3b()3c()0，又，上式可化为：a(2)3b()3c(2)0，即(2a3b3c)(a3b6c)0，则有得3a9c，即ac31，设a3k，ck，代入得bk，cos B，B.【答案】9(2014江西五校联考，17，12分)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解：mnsincoscos2sincossin.(1)mn1，sin，cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos B
52、sin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC)ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B.0A.，sin1.又f(x)mnsin，f(A)sin，故1f(A)0，点P在线段AB上，且有t(0t1)，则的最大值为()Aa B2a C3a Da2【答案】Dt，t()(1t)t(aat，at)，a2(1t)，0t1，0a2.9(2015安徽安庆一模，6)已知点O为ABC所在平面内一点，且222222，则O一定为ABC的()A外心 B内心 C垂心 D重心【答案】C由2222，得2()22()2，0.O在边
53、AB的高线上同理，O在边AC，BC的高线上，则O为ABC的垂心故选C.10(2015江西宜春一模，11)已知定义在区间(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，若a(f(x)，0)，b(cos x，1)，则不等式ab0的解集是()A(0，1) B(0，1C(0，1) D(0，1【答案】C(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，a(f(x)，0)，b(cos x，1)当x(0，1)时，f(x)0；当x时，cos x0，f(x)0；当x时，f(x)0，cos x0，abf(x)cos x0的解集是(0，1).二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11(2011江苏，10)已知e1，e2 是
54、夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2.若 ab0，则实数k的值为_【解析】ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)e1e22ek(12k)cos20，解得k.【答案】12(2015山东烟台质检，14)ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m(3cb，ab)，n(3a3b，c)，mn，则cos A_【解析】mn，(3cb)c(ab)(3a3b)，即bc3(b2c2a2)，cos A.【答案】13(2015江西南昌一模，12)已知向量a(1，1)，b(1，1)，c(cos ，sin )(R)，实数m，n满足manbc，则(m3)2n2的最大值为_【解析】方法一：
55、由manbc，可得故(mn)2(mn)22，即m2n21，故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|1314，故(m3)2n2的最大值为4216.方法二：manbc，(mn，mn)(cos ，sin )(R)mncos ，mnsin .msin，ncos.(m3)2n2m2n26m9106sin.sin1，1，(m3)2n2的最大值为16.【答案】1614(2012江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_【解析】方法一：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)
56、，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，设F(x，2)，(x，2)，(，0)，x，x1，F(1，2)，(，1)(1，2).方法二：|cosBAF，|cosBAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.【答案】三、解答题(共4小题，共50分)15(12分)(2015山东德州一模，16)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解：(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，
57、则B，由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.16(12分)(2014广东惠州三模，18)在ABC中，AB边上的中线CO2，若动点P满足sin2cos2(R)，求()的最小值解：因为sin2cos2，又因为sin2cos21，所以C，P，O三点共线，且sin2，cos20，1，所以点P在线段OC上，故()2，设|t，t0，2，则()2t(2t)cos 1802t24t2(t1)22，所以当t1时取最小值2.17(12分)(2015重庆育才中学月考，17)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若m，n(2，cos 2A1)，且mn
58、.(1)求角A的大小；(2)当a2，且ABC的面积S时，求边c的值和ABC的面积解：(1)由于mn，所以mn2sin2cos 2A112cos22cos2A12cos2Acos A1(2cos A1)(cos A1)0.所以cos A或cos A1(舍去)，又A(0，)，故A.(2)由S及余弦定理得absin C，整理得tan C.又C(0，)，所以C.由(1)知A，故BC.又由正弦定理得c2，所以ABC的面积Sacsin B.18(14分)(2013重庆二模，20)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，四边形OAQP的面积为S.(1)求S的最大值及此时的值0；(2)设点B的坐标为，AOB，在(1)的条件下求cos(0)解：(1)由题意知A，P的坐标分别为(1，0)，(cos ，sin )(1，0)(cos ，sin )(1cos ，sin )，(1，0)(1cos ，sin )1cos .由题意可知Ssin .Ssin cos 1sin1(0)S的最大值是1，此时0.(2)B，AOB，cos ，sin .cos(0)coscos cossin sin.
