1、 类型1空间中的平行关系空间中的平行关系主要包括线与线的平行、线与面的平行以及面与面的平行1证明线与线的平行的常用方法：定义；平行线的传递性，即ab，ac，则bc；线面平行的性质定理；线面垂直的性质定理；面面平行的性质定理等2判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)3证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行
2、；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化【例1】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点求证：(1)GE平面BDD1B1；(2)平面BDF平面B1D1H证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证OGB1C1，BEB1C1，OGBE，四边形BEGO为平行四边形，OBGEOB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，GE平面BDD1B1(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF连接HB，D1F，易证HBFD1 是平行四
3、边形，得HD1BFHD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDFB1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H跟进训练1如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点设Q为PA的中点，G为AOC的重心求证：QG平面PBC证明如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO由G为AOC的重心，得M为AC的中点由Q为PA的中点，得QMPC又O为AB的中点，所以OMBC因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC又QG平面QMO，所以QG平面PBC 类型2空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要包括线与线的垂直、线
4、与面的垂直及面与面的垂直(1)判定线线垂直的方法计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(am，an，m，n，mnAa)；平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质定理(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)；面面垂直的判定定理(a，a)【例2】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：(1)DEDA；
5、(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA证明(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF，易知DFBC，ECBC，DFEC在RtDEF和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtDFERtABD，故DEDA(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，MNBD，即N点在平面BDM内EC平面ABC，ECBN又CABN，ECCAC，BN平面ECABN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA(3)DMBN，BN平面ECA，DM平面ECA又DM平面DEA，平面DEA平面ECA跟进训练2如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD平面ABCD，M为PC的中点(
6、1)求证：AP平面MBD；(2)若ADPB，求证：BD平面PAD证明(1)如图，连接AC交BD于点O，连接OM因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点又M为PC的中点，所以OMPA因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD(2)因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD因为ADPB，PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD平面PBD因为BD平面PBD，所以ADBD因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD又因为BDAD，ADPDD，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD平面PAD 类型3空间图形的体积及表面积柱、锥、台、球的表面积及体积的
7、计算中，表面积的计算要注意侧面展开图、轴截面等在计算中的作用，对于体积的计算，方法较多，主要涉及公式法、割补法、等体积转化法等【例3】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解(1)证明：由已知得AMAD2如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2又ADBC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平
8、面ABCD的距离为PA如图，取BC的中点E，连接AE由ABAC3得，AEBC，AE由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM跟进训练3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD由于ABCD，故ABPD，因为APPDP，AP平面PAD，PD平面PAD，从而AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E由(1)知
9、，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD设ABx，则由已知可得ADx，PEx故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3由题设得x3，故x2从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062 类型4平面图形的翻折问题空间几何中的翻折问题是几何证明、求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后
10、的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形【例4】如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D是AP的中点，E，F分别为PD，PC的中点，将PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP平面EFG证明(1)在直角梯形ABCP中，BCAP，BCAP，D为AP的中点BCAD，又ABAP，ABBC，四边形ABCD为正方形，CDAP，CDAD，CDPD在四棱锥PABCD中，E，F分别为PD，PC的中点，EFCD，EFAD，EFPD又PDADD，PD平面PAD，AD平面PADEF平面PAD又EF
11、平面EFG，平面EFG平面PAD(2)法一：G，F分别为BC和PC的中点，GFBPGF平面PAB，BP平面PAB，GF平面PAB由(1)知，EFDC，ABDC，EFABEF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PABEFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG平面EFG平面PABPA平面PAB，PA平面EFG法二：取AD中点H，连接GH，HE(图略)由(1)知四边形ABCD为正方形又G，H分别为BC，AD的中点，GHCD由(1)知，EFCD，EFGH四点E，F，G，H共面E，H分别为PD，AD的中点，EHPAPA平面EFGH，EH平面EFGHPA平面EFGH，即PA平面EFG跟进训练4如图(1)所
12、示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间图形，如图(2)所示(1)(2)(1)求证：BE平面ADF；(2)求三棱锥FBCE的体积解(1)证明：法一：取DF的中点G，连接AG，EG，CEDF，EGCD又ABCD，EGAB，四边形ABEG为平行四边形，BEAGBE平面ADF，AG平面ADF，BE平面ADF法二：由图(1)可知BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF同理CE平面ADFBCCEC，BC，CE平面BCE，平面BCE平面ADFBE平面BCE，BE平面
13、ADF(2)法一：VFBCEVBCEF，由图(1)可知BCCD平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF由图(1)可知DCCE1，SCEFCEDC，VFBCEVBCEFBCSCEF法二：由图(1)，可知CDBC，CDCE，BCCEC，CD平面BCEDFCE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BCCE1，SBCEBCCE，VFBCECDSBCE法三：过E作EHFC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEFEH平面DCE
14、F，BCEH，EH平面BCF由BCFC，FC，SBCFBCCF，在CEF中，由等面积法可得EH，VFBCEVEBCFEHSBCF1(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A B C DC设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h22am，即h2am，易知h2a2m2，由得ma，所以故选C2(2020全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面
15、积为()A64 B48 C36 D32A如图所示，设球O的半径为R，O1的半径为r，因为O1的面积为4，所以4r2，解得r2，又ABBCACOO1，所以2r，解得AB2，故OO12，所以R2OOr2(2)22216，所以球O的表面积S4R264故选A3(2020海南高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥ANMD1的体积为_如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，SANM11，VV24(2020浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)
16、是_1法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2，所以l22，解得l2，所以该半圆的弧长为2设该圆锥的底面半径为R，则2R2，解得R1法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2R因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则r2R，即r2R，所以侧面展开图的面积为2R2R2R22，解得R15(2020江苏高考)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点(1)求证：EF平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C平面ABB1解(1)证明：E，F分别是AC，B1C的中点所以EFAB1，因为EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1(2)因为B1C平面ABC，AB平面ABC，所以B1CAB，又因为ABAC，ACB1CC，AC平面AB1C，B1C平面AB1C，所以AB平面AB1C，因为AB平面ABB1，所以平面AB1C平面ABB1