1、第三课 复 数 核心整合思维导图 考点突破素养提升 素养一 数学抽象 角度 复数的概念与分类【典例1】(1)如果复数 (其中i为虚数单位,b为实数)是纯虚数,则 b=_.(2)如果复数 (其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为倒数,则b=_.2bi1 i2bi1 i【解析】(1)由复数 是纯虚数,得b=2.答案:2(2)由复数 的实部和虚部互为倒数,得 =1,b2-4=4b2=8,得b=2 .答案:2 2bi2bi1 i2b2bi1 i1 i1 i2（）（）（）（）（）（）2bi2bi1 i2b2bi1 i1 i1 i2（）（）（）（）（）（）2b2b22 22【解题策略】正确区分复数的
2、实部和虚部(1)将复数进行计算或化简,化为z=a+bi(a,bR)的形式,那么a与b分别叫作复数z的实部和虚部.(2)实数的虚部是0,0的实部和虚部都是0,纯虚数的实部为0且虚部不为0.【补偿训练】当实数a为何值时,z=a2-2a+(a2-3a+2)i.(1)为实数.(2)为纯虚数.(3)对应的点在第一象限.(4)复数z对应的点在直线x-y=0上.【解题指南】解答本题可根据复数的分类标准,列出方程(不等式)求解.【解析】(1)由zR,得a2-3a+2=0,解得a=1或a=2.(2)z为纯虚数,即 故a=0.(3)z对应的点在第一象限,则 所以 所以a2.所以a的取值范围是(-,0)(2,+).
3、(4)依题得(a2-2a)-(a2-3a+2)=0,所以a=2.22a2a0a3a20，a0a2a1a2.或 ，且a0a2a1a2 或，或，22a2a0a3a20，素养二 数学运算 角度1 复数的四则运算【典例2】(1)计算:(2)计算:222 01952i1 i1 i1 i1 i.1 2ii1 i（）（）（）（）222 0202 3i248i48i().1 i1 2 3i117i（）（）【解析】(1)=2-(i+3)-i=-1-2i.(2)原式=i+(-i)1 010+0=-1+i.222 01952i1 i1 i1 i1 i1 2ii1 i（）（）（）（）2i2i1 i2i1 i1 2ii
4、1 i（）（）（）224i1 3i1 i12ii2（）2 1 010i1 2 3i248i8i448i48i()1 i1 2 3i117i（）（）（）【解题策略】(1)灵活应用i2=-1化简计算:形如 或 的复数运算,常常利用i2=-1 化简,即 (2)注意类比数列的求和公式计算复数的乘方,如1+i+i2+i3+in=aibabibaiabiaibiaibiabiaib（），baiibaii.abiaib（）n 11 i.1 i【补偿训练】(1)计算:=_.(2)化简i+2i2+3i3+100i100.【解析】(1)=i2 019=(i4)505(i)-1=1505(-i)=-i.答案:-i
5、2 0191 i()1 i2 0192 0192 0191 i1 i1 i2i()()1 i1 i1 i2（）（）（）（）(2)设S=i+2i2+3i3+100i100,所以iS=i2+2i3+99i100+100i101,-得(1-i)S=i+i2+i3+i100-100i101=-100i101=0-100i=-100i.所以S=50-50i.所以i+2i2+3i3+100i100=50-50i.100i1 i1 i（）100i100i1 i1001 i1 i1 i1 i2（）（）（）（）角度2 共轭复数【典例3】设z=a+bi(a,bR),若 R,则a,b应满足什么条件?并说明理由.【解
6、析】所以b(a2+b2-1)=0.所以b=0或a2+b2=1.2z1z222222222zabiabiab1 2abi1z1 ab2abiab12ab（）（）（）（）322222222aababab1iRab14a b（）（），（）【解题策略】注意共轭复数的代数形式(1)互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数,所以复数问题的解题关键是复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)先设参数再运用待定系数法求解,这是常用的数学方法.【补偿训练】若x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,则|x|+|y|=_.【解析】因为x,y为共轭复数,所以x+y,xyR,由复数相
7、等的条件得 设x=a+bi(a,bR),则y=a-bi,所以 所以|x|+|y|=答案:2 2xy43xy6（），2222a4ab2（），222 ab2 2.2素养三 直观想象 角度 复数与轨迹问题【典例4】已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|i|1-i|3=2 .(2)如图所示,由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1 对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z
8、1|max=|z1|+1=2 +1.22【解题策略】常见的复数方程的轨迹(1)圆的轨迹 设Z(x,y)是圆心为Z0(x0,y0),半径为r的圆上任意一点,则|ZZ0|=r(r0).则 圆向量形式的方程|=r(r0),圆复数形式的方程是|z-z0|=r(r0).圆代数形式的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r0).0ZZ(2)|z-z1|=|z-z2|(z1,z2是复常数)轨迹是一条直线.(3)|z-z1|+|z-z2|=2a(z1,z2是复常数,a是正的常数)轨迹有三种可能情形:(i)当2a|z1-z2|时,轨迹为椭圆;(ii)当2a=|z1-z2|时,轨迹为一条线段;(iii)当2a|z1-z2|时,轨迹不存在.(4)|z-z1|-|z-z2|=2a(a是正的常数)轨迹有三种可能情形:(i)当2a|z1-z2|时,轨迹不存在.【补偿训练】已知点集D=z|z+1+i|=1,zC,试求|z|的最小值和最大值.【解析】点集D的图像为以点C(-1,-)为圆心,1为半径的圆,圆上任一点P对 应的复数为z,则|=|z|.由图知,当OP过圆心C(-1,-)时,与圆交于点A,B,33OP3则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1=-1=2-1=1,即|z|min=1;|z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3,即|z|max=3.2213（）（）
