1、一、基础达标1.关于单峰函数，有下列说法：在区间a，b上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；在区间a，b上的单调函数不是单峰函数；对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题；在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题.其中正确的个数有()A.0个 B.1个C.2个 D.3个解析错误，只有正确.答案B2.下列函数在区间10，10上是单峰函数的为()A.y B.ycos xC.y2x D.yx3x23x解析根据单峰函数的定义及规定知只有y2x在区间10，10上为单峰函数.答案C3.已知f(x)2x36x2m在区间3，2上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小()A.2，2 B.1，1
2、C. D.解析由f(x)6x212x0，知x10，x22，所以最佳点是x0，所以C选项排除，由A，B，D的区间范围可知D的范围最小，故选D项.答案D4.若某单峰函数的存优范围是1，4，现在区间1，4上任取两点2，3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是_.解析因为2为好点，舍去区间3，4，存优范围为1，3).答案1，3)5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试
3、，最后发现12 cm长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题：(1)这个问题的可控因素是_；(2)这个问题的最佳点是_.解析(1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度.(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm.答案(1)粉笔的长度(2)12 cm6.已知t0，则函数y的最佳点为_.解析yt42(t0)，当且仅当t1时，y min2.答案1二、能力提升7.说出下列优选问题中的可控因素.购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠
4、、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例.做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？解(1)中的可控因素是位置、价格等；(2)两种原酒的比例；(3)加入碱的量；(4)加入碳的量.8.已知函数f(x)x33ax23x1.(1)若f(x)在0，)上单调，求a的取值范围.(2)若g(x)f(x)3x在1，4上是单峰函数，求a的取值范围.解(1)由f(x)3x26ax30对任意x0恒成立，得2ax2a2a1.(2)由g(x)f(x)33x26ax3x(
5、x2a)，由g(x)0可得x0或x2a.0(1，4)，所以2a(1，4)，2a1或2a4，即a或a2.故a的取值范围是(，2.9.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元.它们与投入资金x万元的关系有经验公式Px，Q.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为(3x)万元，又设所获得的利润总额为y万元，由题意有yx，x0，3.令t，则x3t2，t0，从而y(3t2)t，t0，.当t0，时，ymax.即知x3，3x3.因此，为获得最大利润，
6、对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质.三、探究与创新10.证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧.证明下面仅对单峰函数f(x)上凸的情形进行证明.设点c为a，b上的单峰函数f(x)的最大值点，m，na，b，且f(m)f(n).因为f(x)为单峰函数，所以f(x)在a，c递增，在c，b递减.(1)设na，c，如图，因为m，na，b，且f(m)f(n)，所以ma，n，即mn，b.因为na，c，所以cn，b.因此，点m，c在点n的右侧.(2)设nc，b.因为m，na，b，且f(m)f(n)，所以mn，b，即ma，n.因为nc，b，所以ca，n.因此，点m，c在点n的左侧.由(1)(2)可知点m，c始终在点n的同侧.
