1、33几何概型第23课时几何概型 知识点一 与长度有关的几何概型的问题1已知函数f(x)x2x2，x5，5，那么满足f(x0)0，x05，5的x0取值的概率为()A B C D答案A解析由f(x0)0，即xx020，解得1x02所求概率为P2在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A B C D答案C解析如图所示，在边AB上任取一点P，因为ABC与PBC是等高的，所以事件“PBC的面积大于”等价于事件“|BP|AB|”，即PPBC的面积大于知识点二 与角度有关的几何概型问题3如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在x
2、OT内的概率是()A BC D答案A解析任意角的终边OA落在坐标系中任何一个位置是等可能的，而60角是一周角的，所求概率P4在圆心角为90的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于30的概率为_答案解析作射线OD和OE，使得AOD和BOE都等于30要使得AOC和BOC都不小于30，则射线OC位于射线OD和OE之间，故所求概率P知识点三 与面积有关的几何概型问题5 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A B C D答案B解析设正方形边长为a，则圆
3、的半径为，则正方形的面积为a2，圆的面积为由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半 由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B知识点四 与体积有关的几何概型问题6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M(1)求点M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率P1；(2)求点M落在三棱锥BA1B1C1内的概率P2；(3)求点M到面ABCD的距离大于的概率P3；(4)求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率P4解V正方体a3(1)V三棱柱ABCA1B1C1a2aa3，所求概率P1(2)V三棱锥BA1B1C1SA1B1C1B
4、B1a2aa3，所求概率P2(3)所求概率P3(4)所求概率P4易错点 几何概型中测度选取不对致错7如图，在等腰三角形ABC中，ACB120，DADC，过顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AMAC的概率为()A B C D易错分析易错的原因在于选择的观察角度有问题，题目中条件是过C作射线CM，错在AB上取点，将问题转化为长度之比，事实上，在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度正解D由题意，在等腰ABC中，ACB120，DADC，则ACAD，即ADAC，ABAC3AD，所以要使过顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段
5、AB交于点M，则AMAC，只要AMAD即可，由DADC，得ACDCAD30，所以AM0且1，如图：所求概率P8在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M(x，y)，则|OM|2的概率是_答案解析如图所示，不等式组所表示的平面区域W是图中正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是224从区域W中随机取点M(x，y)，使|OM|2，则点M落在图中阴影部分在RtAOM中，MA，AOM，所以阴影部分的面积是2，故所求的概率是三、解答题9(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点
6、作弦，问其长度超过的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长度超过的概率是多少？解(1)设事件A弦长超过，弦长只与它跟圆心的距离有关，当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件由几何概型概率公式知P(A)(2)设事件B弦长超过，弦被其中点唯一确定，当且仅当弦中点在半径为的同心圆内时才能满足条件由几何概型概率公式知P(B)(3)设事件C弦长超过，如图，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作圆的内接正三角形ABC，易知正三角形ABC的边长为，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|AB|，由几何概型概率公式知P(C)10甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜时间内随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率解设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，则所有的基本事件构成的区域这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P(A)1