1、12.3 角的平分线的性质（第1课时）人教版 数学 八年级 上册ABDCE下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？导入新知3.熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.1.学会角平分线的画法.2.探究并认知角平分线的性质.素养目标在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？用量角器度量，也可用折纸的方法 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？探究新知知识点 1角平分线的画法问题1：问题2：提炼图形探究新知如图，是一个角平分仪，其中A
2、B=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.探究新知问题3：【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗？探究新知做一做A
3、BMNCO已知:AOB.求作：AOB的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.12半径小于MN或等于MN，可以吗？1212探究新知已知：平角AOB.求作：平角AOB的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC探究新知1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PEOB，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表
4、：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：_PD PE 第一次第二次第三次COBAPD=PEpDE OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质知识点 2探究新知已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在PDO和PEO中，PDO=PEO，AOC=BOC，OP=OP，PDO PEO(AAS).PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究新知验证猜想一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可
5、以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.探究新知归纳总结u性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.u应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.u定理的作用：证明线段相等.u应用格式：OP 是AOB的平分线，PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PDOA，PEOB，BADOPEC探究新知判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC(2)如上右图
6、，DCAC，DBAB （已知）.=，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CDBADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件探究新知如图，在ABC中，B，C的平分线交于点O，ODAB于点D，OEAC于点E，则OD与OE的大小关系是()A.ODOE BODOEC.ODOE D不能确定B巩固练习例1已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC.垂足分别为E，F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：AD是BAC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF，DEB=DFC=90.在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD，RtBDE R
7、tCDF(HL).EB=FC.探究新知角平分线的性质的应用素养考点 1如图，已知：OD平分AOB，在OA，OB边上取OAOB，PMBD，PNAD，垂足分别为M，N.求证：PMPN.证明：OD平分AOB，12，又OAOB，ODOD，AOD BOD，34，又PMDB，PNDA，PMPN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)巩固练习例 2 如 图，A M 是 B A C 的 平 分 线，点 P 在 A M 上，P D A B，PEAC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=_cm.BACPMDE4提示：存在两条垂线段直接应用.探究新知利用角平分线的性质求线段的长度素养考点 2ABCP如图，在RtA
8、BC中，AC=BC，C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.D4提示：存在一条垂线段构造应用.巩固练习1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解探究新知归纳总结如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC，且ADC=110，则MAB=（）A30B35C45D60B解析：作MNAD于N，B=C=90，ABCD，DAB=180ADC=70.DM平分ADC，MNAD，MCCD，MN=MC，M是BC的中点，MC=MB，MN=MB，又MNAD，MBAB，MAB=12
9、DAB=35.N连接中考2.ABC中，C=90，AD平分CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.ABCD3E1.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，则 EBF=度，BE=.60BFEBDFACG课堂检测基 础 巩 固 题3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）A.SSS B.ASA C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMCOA课堂检测4.如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是()A.PCPD B.OCODC.CPODPO D.OCPCD5.如图，AD
10、是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3DBCEADF课堂检测EDCBA68101.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED 的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB，RtCDB RtEDB(HL)，BEBC=8.AEABBE=2.AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.能 力 提 升 题CD课堂检测2.如图所示，D是ACG的平分线上的
11、一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDE RtCDF(HL)，CECF.,CDCDDEDF课堂检测如图，已知ADBC，P是BAD与ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N.ADBC，MNBC，MN的长即为AD与BC之间的距离.AP平分BAD，PMAD，PEAB，PM=PE.同理，PN=PE.PM=PN=PE=3.MN=6.即AD与BC之间的距离为6.拓 广 探 索 题课堂检测角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段课堂小结为证明线段相等提供了又一途径课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习 谢谢观看Thank You!
