1、2015-2016学年河北省保定市清苑中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，1若集合A=xR|lgx20，集合B=xR|12x+37，则（）AUBABBACAUBDAB2定义：若复数z与z1满足zz1=1，则称复数z与z1互为倒数，已知复数z=i（2+3i），则复数z的倒数z1为（）A iB iC iD i3已知直线3x+4y5=0的倾斜角为，则=（）ABCD4如图，正六边形ABCDEF中， +=（）ABCD5已知数列an满足an+1=an2（nN+），他的前n项的和为Sn，则Sn的最大值是S3是a1=5的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
2、件D既不充分也不必要条件6已知函数f（x）=2mx+4若在2，1上存在x0，使f（x0）=0，则实数m的取值范围为（）A，4B（，2U1，+）C1，2D2，17下列命题正确的是（）A已知p：0，则p：0B存在实数xR，使sinx+cosx=成立C命题p：对任意的xR，x2+x+10，则p：对任意的xR，x2+x+10D若p或q为假命题，则p，q均为假命题8已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且x0，2时，f（x）=log2（x+1），则f（7）=（）A1B1C3D39函数f（x）=Asin（x+）+b的图象如图，则f（x）的解析式和S=f（0）+f（1）+f（2）+f（20
3、13）的值分别为（）ABCD10已知a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDcab11已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD12函数 f（x）=ex+a，g（x）=|ln（x）|，若x1，x2都满足f（x）=g（x），则（）Ax1x2eB1x1x2eC0x1x2D1二.填空题13已知奇函数f（x）=，则g（2）的值为14已知函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+），则=15已知函数f（x）=exex3x（x0）的导数的值域为16如图，菱形ABCD的边长为2，BAD=60，M为CD的中点，若N为菱形内
4、任意一点（含边界），且|MN|1，则的取值范围为三.解答题17已知函数f（x）=x3+ax2+bxa27a在x=1处取的极大值为10，求a和b的值18已知数列an满足an+1=an+2（nN+）且a1，a3，a7成等比（1）求数列an的通项公式（2）设数列bn满足bn+1bn=an（nN+）且b1=2，求数列得前n项的和19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（）求B的值；（）求2sin2A+cos（AC）的范围20设函数f（x）=|2xa|（a0），g（x）=x+2|2x+1|（1）当a=1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若f（
5、x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围21已知曲线C1： （t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|22已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值；（2）当x1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数（3）若a0，且对任意的x1，x21，e，都有，求实数a的取值范围2015-2016学年河北省保定市清苑中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，1若集合A
6、=xR|lgx20，集合B=xR|12x+37，则（）AUBABBACAUBDAB【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；集合【分析】化简集合A，B；从而得到答案【解答】解：A=xR|lgx20=x|x1或x1，B=xR|12x+37=x|1x2，UB=x|x1或x2，则UBA故选A【点评】本题考查了集合之间的相互关系及集合的运算2定义：若复数z与z1满足zz1=1，则称复数z与z1互为倒数，已知复数z=i（2+3i），则复数z的倒数z1为（）A iB iC iD i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义、互为倒数的定义即可得出
7、【解答】解：复数z=i（2+3i）=2i3，则复数z的倒数z1=故选：B【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知直线3x+4y5=0的倾斜角为，则=（）ABCD【考点】直线的倾斜角【专题】转化思想；综合法；直线与圆【分析】先求出tan=，再求出sin=，cos=，代入展开即可【解答】解：由直线3x+4y5=0，得：tan=，则sin=，cos=，=sincos=（）=，故选：A【点评】本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，属于基础题4如图，正六边形ABCDEF中， +=（）ABCD【考点】向量的加法及其几
8、何意义【专题】平面向量及应用【分析】由题意，结合正六边形的性质和向量的加法运算法则，进行计算即可【解答】解：正六边形ABCDEF中，=， =；+=+=+=故选：D【点评】本题考查了平面向量的运算问题，解题时应根据平面向量的加法法则，直接计算即可，是基础题5已知数列an满足an+1=an2（nN+），他的前n项的和为Sn，则Sn的最大值是S3是a1=5的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】根据等差数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：由an+1=a
9、n2得到数列an是公差d=2的等差数列，若a1=5，则an=52（n1）=72n，由an=72n0得n3，即Sn的最大值是S3，即必要性成立若Sn的最大值是S3，则a30，且a40，即a1+2d0且a1+3d0，即a140且a160，解得4a16，则充分性不成立，故“Sn的最大值是S3”是“a1=5”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质是解决本题的关键6已知函数f（x）=2mx+4若在2，1上存在x0，使f（x0）=0，则实数m的取值范围为（）A，4B（，2U1，+）C1，2D2，1【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题【分析】由题意知函
10、数f（x）必是单调函数，在2，1上存在零点，应有f（2）与f（1）异号，建立不等关系解不等式求出数m的取值范围【解答】解：由题意知m0，f（x）是单调函数，又在2，1上存在x0，使f（x0）=0，f（2）f（1）0，即（4m+4）（2m+4）0，解得m2或m1故选B【点评】本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件解答的关键是根据题意转化成：f（2）f（1）07下列命题正确的是（）A已知p：0，则p：0B存在实数xR，使sinx+cosx=成立C命题p：对任意的xR，x2+x+10，则p：对任意的xR，x2+x+10D若p或q为假命题，则p，q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用【
11、专题】证明题【分析】由于原命题中X=1时，不等式无意义，故否定中应包含x=1，进而判断A的真假；根据三角函数的值域，分析出sinx+cosx的取值范围，进而判断B的真假；根据全称命题的否定一定是一个特称命题，可判断C的真假；根据复合命题真假判断的真值表，可以判断D的真假【解答】解：已知p：0，则p：0或x=1，故A错误；sinx+cosx，故存在实数xR，使sinx+cosx=成立错误；命题p：对任意的xR，x2+x+10，则p：存在xR，x2+x+10，故C错误；根据p或q一真为真，同假为假的原则，可得若p或q为假命题，则p，q均为假命题，故D正确故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判
12、断，熟练掌握命题的否定，三角函数的值域，复合命题真假判断真值表等基本知识点是解答的关键8已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且x0，2时，f（x）=log2（x+1），则f（7）=（）A1B1C3D3【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】函数f（x）的图象关于直线x=2对称且为奇函数，所以f（x）=f（4x）=f（4+x），从而f（8+x）=f（x），即函数f（x）的周期为8，代入验证即可【解答】解：函数f（x）的图象关于直线x=2对称且为奇函数f（x）=f（4x）=f（4+x）f（8+x）=f（x）即函数f（x）的周期为8f（7）=f（1）=f（1）=1
13、，故选A【点评】本题考查的是函数的奇偶性及周期性的综合运用，另外利用数形结合也可得到答案9函数f（x）=Asin（x+）+b的图象如图，则f（x）的解析式和S=f（0）+f（1）+f（2）+f（2013）的值分别为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】由图象可得A值，可得函数的周期，结合图象的变换可得解析式，计算函数在1个周期的值的和，由周期性可得【解答】解：由图可知A=，周期T=4，解得=，图象可看作由y=Asin（x+）图象向上平移1个单位得到，故b=1，f（x）=sin（x+）+1，把点（0，1）代入可得1=sin+1，即si
14、n=0，故可取=0，f（x）=sinx+1，又f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=4S=f（0）+f（1）+f（2）+f（2013）=5034+f（0）+f（1）=2014故选D【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性的应用，属中档题10已知a=，b=，c=，则（）AabcBbacCacbDcab【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】c=，log436=log26，而2log26log234，可得，即可得出【解答】解：c=，log436=log26，又2log26log234，又a=，b=，abc故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、对数的
15、运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项【解答】解：由导数的图象可得，导函数f（x）的值在1，0上的逐渐增大，故函数f（x）在1，0上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的导函数f（x）的值在0，1上的逐渐减小，故函数f（x）在0，1上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题12函数 f（x）=ex+
16、a，g（x）=|ln（x）|，若x1，x2都满足f（x）=g（x），则（）Ax1x2eB1x1x2eC0x1x2D1【考点】对数函数的图像与性质；对数的运算性质【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据题意，得出函数f（x）与g（x）在定义域（，0）上有两个交点（x1，0）和（x2，0）；画出图形，结合图形得出0x11x2，列出方程组，从而得出ln（x1x2）=；求出的取值范围，即得x1x2的取值范围【解答】解：f（x）=ex+a，g（x）=|ln（x）|=，且x1，x2都满足f（x）=g（x），函数f（x）与g（x）在定义域（，0）上有两个交点（x1，0）和（x2，0）；如图
17、所示，不妨设0x11x2，则，=ln（x1）ln（x2）=ln（x1x2），即ln（x1x2）=；0x11x2，10，即1ln（x1x2）0，x1x21故选：D【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，转化思想，是综合性题目二.填空题13已知奇函数f（x）=，则g（2）的值为8【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x0，则x0，由f（x）=f（x）得3x1=f（x），由此可得f（x），即g（x），代入x=2即可求得g（2）【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R，所以f（0）=0，即30+a=
18、0，解得a=1，设x0，则x0，f（x）=f（x），即3x1=f（x），所以f（x）=3x+1，即g（x）=3x+1，所以g（2）=32+1=8故答案为：8【点评】本题考查分段函数求值、奇函数的性质及其应用，考查学生灵活运用知识解决问题的能力14已知函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+），则=【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式，从而求得f（）的值【解答】解：函数f（x）=sin（x+2）2sincos（x+）=sin（x+）cos+cos（x+）sin2sincos（x+）=sin（x
19、+）coscos（x+）sin=sinx，则=sin=，故答案为：【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于基础题15已知函数f（x）=exex3x（x0）的导数的值域为1，+）【考点】导数的运算【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用【分析】先求导，再根据基本不等式即可求出导数的值域【解答】解：f（x）=exex3x，f（x）=ex+ex323=23=1，当且仅当x=0时取等号，导数的值域为1，+）故答案为：1，+）【点评】本题考查了导数的运算法则和基本不等式的应用，属于基础题16如图，菱形ABCD的边长为2，BAD=60，M为CD的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），且
20、|MN|1，则的取值范围为7，9【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；平面向量及应用；直线与圆【分析】先以点A为坐标原点建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可【解答】解：以点A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，A=60，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）设N（x，y），因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，由于|MN|1，即有N在以M为圆心，1为半径的下半圆内，又N为平行四边形内（包括边界）一动点，则对应的平面区
21、域如图所示，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，当目标函数z=2x+y与半圆相切时，即=1，可得z=7，或7+（舍去）z=2x+y取得最小值7则的取值范围为7，9故答案为：7，9【点评】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题三.解答题17已知函数f（x）=x3+ax2+bxa27a在x=1处取的极大值为10，求a和b的值【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；函数思想；方程思想；运动思想；导数的综合应用【分析】求出函数的导数，利用导函数为0，结合函数f（x）=x3+ax2+bxa
22、27a在x=1处取的极大值为10，求出a，b，然后验证即可【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bxa27a可得：f（x）=3x2+2ax+b，x=1时，f（x）取得极值为10，解得或经检验取得极小值舍去a=6，b=9【点评】本题考查函数的极值的求法，导函数的应用，注意验证，这是易错点18已知数列an满足an+1=an+2（nN+）且a1，a3，a7成等比（1）求数列an的通项公式（2）设数列bn满足bn+1bn=an（nN+）且b1=2，求数列得前n项的和【考点】数列的求和；等比数列的性质【专题】计算题；整体思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过an+1=an+2（nN+）易知
23、数列an为公差d=2的等差数列，利用a1，a3，a7成等比计算可知a1=4，进而可得结论；（2）通过（1）可知bn+1bn=2n+2（nN+），进而bnbn1=2n（n2，且nN+）、bn1bn2=2n2、b2b1=4，累加、裂项可知=，进而并项相加即得结论【解答】解：（1）an+1=an+2（nN+），数列an为公差d=2的等差数列，又a1，a3，a7成等比，解得a1=4，an=2n+2；（2）由（1）可知bn+1bn=2n+2（nN+），bnbn1=2n（n2，且nN+），bn1bn2=2n2，b2b1=4，累加得：bnb1=2，又b1=2，bn=n（n+1），=，于是数列得前n项的和为1
24、+=1=【点评】本题考查数列的通项及前n项和，利用累加法及裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，（）求B的值；（）求2sin2A+cos（AC）的范围【考点】正弦定理；等差数列；三角函数的定义域【专题】计算题【分析】（）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B（）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（AC
25、）的范围【解答】解：（）acosC，bcosB，ccosA成等差数列，acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，sinB=2sinBcosB，又在ABC中，sinB0，0B，；（），=，2sin2A+cos（AC）的范围是【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题，利用三角函数的特殊性质求得答案20设函数f（x）=|2xa|（a0），g（x）=x+2|2x+1|（1）当a=1时，
26、求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】（1）由条件去掉绝对值，求得x的范围（2）由题意可得|2xa|+|2x+1|x20 恒成立，令h（x）=|2xa|+|2x+1|x2，化简h（x）的解析式，根据单调性求得h（x）的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围【解答】解：（1）|2x1|1，解得 x0或x1，原不等式的解集为x|x0或x1（2）由题意可得|2xa|x+2|2x+1|恒成立，即|2xa|+|2x+1|x+2恒成立，即|2xa|+|2x+1|
27、x20 恒成立令h（x）=|2xa|+|2x+1|x2=，因为a0，故当x=时，h（x）取得最小值为1，令10，求得a2【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，根据函数的单调性求函数的最小值，体现了等价转化的数学思想，属于中档题21已知曲线C1： （t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|【考点】参数方程化成普通方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么
28、曲线；（2）先求出过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l参数方程，然后代入曲线C1，利用参数的应用进行求解的即可【解答】解：（1）C1： （t为参数），C2：（为参数），消去参数得C1：（x+2）2+（y1）2=1，C2：，曲线C1为圆心是（2，1），半径是1的圆曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆（2）曲线C2的左顶点为（4，0），则直线l的参数方程为（s为参数）将其代入曲线C1整理可得：s23s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1+s2=3，s1s2=4，所以|AB|=|s1s2|=【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点的距离公式
29、的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题22已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值；（2）当x1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数（3）若a0，且对任意的x1，x21，e，都有，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明【专题】导数的综合应用【分析】（1）把a=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义1，e分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在1，e上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a0和a0讨论打哦函数的
30、单调性，特别是当a0时，求出函数f（x）在1，e上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x1，e时，方程f（x）=0根的个数；（3）a0判出函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，在规定x1x2后把转化为f（x2）+f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围【解答】解：（1）当a=4时，f（x）=4lnx+x2，函数的定义域为（0，+）当x时，f（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=4ln1+12=1，f（e）=4lne+e2=e24，所以函数f
31、（x）在1，e上的最大值为e24，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得若a0，则在1，e上f（x）0，函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，由f（1）=10知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a0，由f（x）=0，得x=（舍），或x=若，即2a0，f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，由f（1）=10知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a2e2，f（x）=alnx+x2在1，e上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+ae20，所以方程f（x）=0在1，e上有1个实数根；若，即2e2a2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=
32、10，f（e）=e2+a=当，即2ea2时，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是0当a=2e时，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是1当e2a2e时，f（e）=a+e20，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是2当2e2ae2时，f（e）=a+e20，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是1；（3）若a0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，不妨设x1x2，则变为f（x2）+f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在1，e单调递减，所以G（x）=0对x1，e恒成立，即a对x1，e恒成立，而在1，e单调递减，所以a所以，满足a0，且对任意的x1，x21，e，都有成立的实数a的取值范围不存在【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目