1、第1章直线与方程1.1直线的斜率与倾斜角基础过关练题组一直线的斜率1.(2020江苏宜兴第一中学高二月考)在平面直角坐标系中,过点(-1,2)和(1,4)的直线的斜率k=()A.12B.2C.1D.-12.(2020山东烟台一中高一月考)由以下两点确定的直线中,斜率不存在的是()A.(4,1)与(-4,-1)B.(0,1)与(1,0)C.(1,4)与(-1,4)D.(-4,1)与(-4,-1)3.(2020北京四中高二期中)若A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则m的值为()A.12B.-1C.-2D.04.设P为x轴上的一点,A(-3,8)、B(2,14),若PA的斜率是P
2、B的斜率的2倍,则点P的坐标为.5.求过已知两点的直线的斜率.(1)直线PQ过点P(2,3),Q(6,5);(2)直线AB过点A(2,1),B(m,2).6.(2020江苏沙溪高级中学高二月考)已知A(1,2)、B(-3,-4)、C2,72.证明:A,B,C三点共线.题组二直线的倾斜角7.(2020江苏无锡第一中学高二月考)已知点A(1,3),B(-1,33),则直线AB的倾斜角为()A.23B.6C.3D.568.(2020山东淄博中学高二月考)已知直线l的斜率的绝对值为3,则直线l的倾斜角为()A.60B.30C.60或120D.30或1509.(2020天津汇文中学高二月考)已知点A(2
3、,m),B(3,3),直线AB的倾斜角为45,那么m的值为()A.1B.2C.3D.410.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30角,则直线l的倾斜角为()A.30B.60C.30或150D.60或12011.(多选)下列四个命题中,为假命题的是()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是0,)C.若一条直线的斜率为tan ,则此直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan 12.(2020江苏扬州中学高一月考)直线x=76的倾斜角是.13.求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.(1)(-3,5),(0,2);(2)(
4、4,4),(4,5);(3)(m,23m+3),(2m-1,33m)(m1).14.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知BOD=60,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.能力提升练题组倾斜角与斜率的综合运用1.(多选)(2020山东临沂沂南一中高二期中,)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为,直线l绕点A顺时针旋转45后得直线l1,则直线l1的倾斜角可能为()A.+45B.+135C.-45D.135-2.(2020安徽六安一中高二月考,)若过两点A(m2+2,m2-3),B(-m2-m+3,2m)的直线l的倾斜角为45,则m=()A.-2或-1B
5、.1C.-1D.-23.(多选)(2020山东青州第一中学高二月考,)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为1,2,3,则下列选项正确的是()A.k1k3k2B.k3k2k1C.132D.3214.(2021黑龙江哈尔滨六中高二上月考,)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是()A.0,12B.0,1C.0,2D.0,125.(2020上海嘉定高二期中,)若直线l过点A(4,1),B(3,a2)(aR),则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,4B.4,22,C.0,34D.0,42,6.(2021普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
6、,)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为、.7.(2020江苏盐城射阳中学高二期中,)设直线l的斜率为k,且-1k1,则直线的倾斜角的取值范围是.8.(2020江苏泰州姜堰中学高二月考,)在幂函数y=x的图象上任取两个不同的点(x1,y1),(x2,y2),若y2-y1x2-x1是定值,则=.9.()若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角不是锐角,则实数t的取值范围是.10.(2020江苏宿迁沭阳高级中学高二期中,)已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点,则直线l的斜率k的取值范围
7、是.11.()台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球经过台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当、方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为.12.()已知平面直角坐标系中有两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角?(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角?(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗?13.(20
8、20山东东营一中高二月考,)若点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x2,5时,求2y+1x+1的取值范围.答案全解全析基础过关练1.C由斜率公式知k=4-21-(-1)=1.故选C.2.D根据斜率公式可知,当两点的横坐标相同时,直线的斜率不存在,此时,过两点的直线垂直于x轴.A、B、C选项中,两点的横坐标不相同,故斜率存在;而D选项中,两点的横坐标相同,故过该两点的直线的斜率不存在.故选D.3.D由于A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则kAB=kAC,即3+2-2-3=m-31+2,解得m=0.故选D.4.答案(-5,0)解析设P(x,0)为满足题意的点,则kPA
9、=8-3-x,kPB=142-x,于是8-3-x=2142-x,解得x=-5,故点P的坐标为(-5,0).5.解析(1)直线PQ的斜率k=5-36-2=12.(2)当m=2时,直线AB的斜率不存在.当m2时,直线AB的斜率k=2-1m-2=1m-2.易错警示利用斜率公式求直线的斜率应注意:运用公式的前提条件是“直线上任意两点的横坐标不相等”,即直线不与x轴垂直,当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的.6.证明因为A(1,2),B(-3,-4),C2,72,所以kAB=2-(-4)1-(-3)=32,kAC=2-721-2=32,所以kAB=kAC,又直线AB,AC有公共点A,所以A,B,C三点共线
10、.7.A设直线AB的倾斜角为,因为A(1,3),B(-1,33),所以直线AB的斜率k=33-3-1-1=-3,即tan =-3,因为0,),所以=23.故选A.解题模板由两点坐标,求出直线AB的斜率,利用k=tan ,结合倾斜角的范围即可求解.8.C由题意知|tan |=3,即tan =3或tan =-3,直线l的倾斜角为60或120.故选C.9.B由题意可得m-32-3=tan 45=1,m=2.故选B.10.D如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60或120.11.ACD对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90,斜率不存在,A是假命题;对于B,直线的倾斜角的取值范围是0,),B是
11、真命题;对于C,一条直线的斜率为tan ,但此直线的倾斜角不一定为,如直线y=x的斜率为tan54,它的倾斜角为4,C是假命题;对于D,一条直线的倾斜角为时,它的斜率为tan 或不存在,D是假命题.故选ACD.12.答案2解析因为直线x=76与x轴垂直,所以直线x=76的倾斜角是2.13.解析(1)斜率k=2-50-(-3)=-10,倾斜角为锐角.误区警示直线的倾斜角与斜率k之间的关系是k=tan (其中090或90180).14. 解析因为ODBC,BOD=60,所以直线OD,BC的倾斜角都是60,斜率kOD=kBC=tan 60=3.因为OB在x轴的正半轴上,DCOB,所以直线OB,DC的
12、倾斜角都是0,斜率kOB=kDC=tan 0=0.由菱形的性质知,COB=30,OBD=60,所以直线OC的倾斜角为30,斜率kOC=tan 30=33,直线BD的倾斜角为DBx=180-OBD=120,斜率kBD=tan 120=-3.能力提升练1.BC因为直线倾斜角的取值范围为0 180(不含180),当45180时,直线l1的倾斜角为-45,当0k30,k10,即k1k3230,且1为钝角,即321.故选AD.4.C直线l过点A(1,2),当直线l的倾斜角为0时,斜率k=0;当直线l经过原点时,斜率k=2,当直线在如图的区域时不经过第四象限,直线l的斜率的取值范围为0,2,故选C.5.D
13、设直线l的倾斜角为,则tan =a2-13-4=1-a2,因为aR,所以1-a21,即tan 1,因为0,),所以04或2,所以直线l的倾斜角的取值范围是0,42,.故选D.6.答案13;-3解析解法一:设正方形的对角线倾斜角为,则tan =2,则正方形的两条邻边的倾斜角为+4,-4,故tan+4=tan+tan 41-tantan 4=-3,tan-4=tan-tan 41+tantan4 = 2-11+2=13,正方形的两条邻边的斜率为-3,13.解法二:如图,设O(0,0),A(1,2),则可知B(-2,1),D(2,-1),所以kAB=1-2-2-1=13,kAD=-1-22-1=-3
14、.7.答案0,434,解析由图得当-1k1时,0,434,.8.答案1或0解析y2-y1x2-x1是定值表示过点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率存在,且是定值,故幂函数y=x的图象是直线,故=1或=0.9.答案-2,1解析因为直线的倾斜角不是锐角,所以=0或=90或是钝角.当=0时,1+t=2t,得t=1;当=90时,1-t=3,得t=-2;当是钝角时,直线的斜率小于0,即2t-(1+t)3-(1-t)0,得t-1t+20,t+20或t-10,解得-2t0,解得m-2.故当m-2时,直线MN的倾斜角为锐角.(2)若直线MN的倾斜角为钝角,则斜率小于0,即斜率k=2m+5-1m+3-(
15、m-2)=2m+450,解得m-2.故当m-2时,直线MN的倾斜角为钝角.(3)当直线MN垂直于x轴时,直线MN的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.易错警示利用斜率公式,得到参数满足的等量关系式,注意分母不等于零.13.解析2y+1x+1=2y+12x+1,而y+12x+1=y-12x-(-1)的几何意义是过M(x,y),N-1,-12两点的直线的斜率.因为点M在函数y=-2x+8的图象上,且x2,5,所以点M在线段AB上,且A(2,4),B(5,-2),如图.由于kNA=32,kNB=-14,所以-14y+12x+132,所以-122y+1x+13,即2y+1x+1的取值范围是-12,3.