1、江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（普通班，含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量(万件)234单位成本(元件)3a7现根据表中所提供的数据,求得关于的线性回归方程为,则值等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知表格中的数据求得与的值,代入线性回归方程求解值.【详解】由所给数据可求得 ,代入线性回归方程为,得,解得故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.2.直
2、线的倾斜角的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将直线方程化为斜截式,得到斜率,从而可以求出的取值范围,进而得到倾斜角的范围.【详解】将直线方程化为斜截式:,故直线的斜率,所以直线的倾斜角范围为,故选:B.【点睛】本题考查直线的倾斜角,由斜率范围确定倾斜角范围时容易求反,答题时要仔细.3.掷一枚均匀的硬币两次，事件：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：选D.考点：古典概型.4.已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则
3、点C的坐标为( )A. (2，4)B. (2，4)C. (2，4)D. (2，4)【答案】C【解析】【分析】求出A(4，2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，可写出BC所在直线方程，与直线y2x联立，即可求出C点坐标.【详解】设A(4，2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则，解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100. 联立直线y=2x，解得，则C(2，4)故选C.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.5.在中，则BC边上的中线AD的长为A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，即可【详解】由余弦定理可得：在中
4、，由余弦定理可得：，故选D【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6.已知圆C：x2(y3)24，过A(1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|2，则直线l的方程为()A. x1或4x3y40B. x1或4x3y40C. x1或4x3y40D. x
5、1或4x3y40【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，过圆C作CMPQ，垂足为M，由于|PQ|2，可求得|CM|1.由|CM|1，解得k，此时直线l的方程为y(x1)故所求直线l的方程为x1或4x3y40.故选B.7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A. 50 mB. 100 mC. 120 mD. 150 m【答案】A【解析】【分析】如图所
6、示，设水柱CD的高度为h在RtACD中，由DAC=45，可得AC=h由BAE=30，可得CAB=60在RtBCD中，CBD=30，可得BC=在ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ACABcos60代入即可得出【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h在RtACD中，DAC=45，AC=hBAE=30，CAB=60又B，A，C在同一水平面上，BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在RtBCD中，CBD=30，BC=在ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ACABcos60（）2=h2+1002，化为h2+50h5000=0，解得h=50故选A【点睛】解三角形应用题的一般步骤(
7、1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8.已知直线方程为，和分别为直线上和外的点，则方程表示（ ）A. 过点且与垂直的直线B. 与重合的直线C. 过点且与平行的直线D. 不过点，但与平行的直线【答案】C【解析】【分析】先判断直线与平行，再判断直线过点，得到答案.【详解】由题意直线方程为，则方程两条直线平行，为直线上的点，化为，显然满足方程，所以表示过点且与平行的直线故答案选C【点睛
8、】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）A. 名运动员是总体；B. 所抽取的名运动员是一个样本；C. 样本容量为；D. 每个运动员被抽到的机会相等.【答案】CD【解析】【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体
9、，名运动员的年龄是样本，总体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，所以A、 B 错误，C、D正确.故选：CD.【点睛】本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）A. 若，则一定是等边三角形B. 若，则一定是等腰三角形C. 若，则一定是等腰三角形D. 若，则一定锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角
10、形，正确；由正弦定理可得，或，是等腰或直角三角形，不正确；由正弦定理可得，即，则等腰三角形，正确；由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.11.（多选题）下列说法正确的是（ ）A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B. 点关于直线的对称
11、点为C. 过，两点的直线方程为D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】AB【解析】【分析】根据直线的方程及性质，逐项分析，A中直线在坐标轴上的截距分别为2，所以围成三角形的面积是2正确，B中在直线上，且连线的斜率为，所以B正确，C选项需要条件，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线.【详解】A中直线在坐标轴上的截距分别为2，所以围成三角形的面积是2正确，B中在直线上，且连线的斜率为，所以B正确，C选项需要条件，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线.【点睛】本题主要考查了直线的截距，点关于直线的对称点，直线的两点式方程，属于中档题.12.设有一组圆.下列四个命题正确的
12、是（ ）A. 存在，使圆与轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案.【详解】根据题意得圆的圆心为（1，k），半径为，选项A,当k=，即k=1时，圆的方程为，圆与x轴相切，故正确；选项B，直线x=1过圆的圆心（1，k），x1与所有圆都相交，故正确；选项C,圆k：圆心（1，k），半径为k2，圆k+1：圆心（1，k+1），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d1，两圆的半径之差Rr2k+1，（Rrd），k含于Ck+1之中，
13、 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k2k4，不存在 kN*使上式成立，即所有圆不过原点，正确故选ABD【点睛】本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.直线关于点对称的直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点，根据中点坐标公式，点在直线，可得所求直线方程，即可求得答案.【详解】设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为根据坐标中点公式可得：解得：点在直线
14、将代入可得：整理可得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.14.已知圆，圆,定点,动点，分别在圆和圆上，满足,则线段的取值范围_.【答案】【解析】【分析】因为，可得，根据向量和可得，即，由，分别在圆和圆上点设，求得，由，可得，即可得到，设中点为，求得的取值范围，即可求得答案.【详解】，分别在圆和圆上点设，则，由，可，即，整理可得：，设中点为，则，即，点的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，的取值范围是，的范围为，故：范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围
15、问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.在中，内角所对的边分别为，若 ，的面积为，则_ ，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，从而求得，结合范围，即可得到答案运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案【详解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面积公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1）
16、，B（1，1），点P为圆（x4）2y24上任意一点，记OAP和OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】设AOP，利用面积公式得，求出的最小值即可.【详解】设AOP，易知OA，OB，AOB，则BOP，故，直线，圆（x4）2y24圆心到两条直线的距离均为，直线与圆相离，由图易知，圆在内部，设，即，解得，所以最大为，即直线OP与圆相切时，当切点在第一象限的点的时候，取得最小值.故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式的应用，结合直线与圆的位置关系解决问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.为了了解高中新生的体能情况，某学校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将
17、所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从 左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由【答案】（1）008，150；（2）88;（3）第四小组，理由见解析【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1结合面积之比得到第二小组的频率，从而求得样本容量；（2）由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1与面积之比可求出达标的频率即达标率；（3）求出前四组的频
18、数即可得到中位数所在的区间试题解析：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：又因为频率=所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内考点：频率分布直方图18.的内角，的对边分别为，已知，.（1）求角；（2）若点满足，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到的值，从而得到角的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得
19、到的值，从而得到角的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在中把边和角都解出来，然后在中利用余弦定理求解；解法二：在中把边和角都解出来，然后在中利用余弦定理求解；解法三：将用表示，平方后求出的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得，又，所以.由于，则.又因为，所以【解法二】由题设及余弦定理可得，化简得.因为，所以.又因，所以.【解法三】由题设，结合射影定理，化简可得.因为.所以.又因为，所以.（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.又因为，所以，即.在中，因为，所以，所以在中，由余弦定理得，所以.【解法2】在中，因为，所以，.由余弦定理得.因为，所以.在中，由余弦定
20、理得所以.【解法3】在中，因为，所以，.因为，所以.则所以.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.19.已知直线及点证明直线过某定点，并求该定点的坐标当点到直线的距离最大时，求直线的方程【答案】（1）证明见解析,定点坐标为（2）【解析】【分析】直线方程化成，再联解关于、的方程组，即可得到直线经过的定点坐标；设直线经过的定点为，由平面几何知识，得到当时，点到直线的距离最大因此算出直线的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线的斜率，即可求出此时直线的方程【详解】直线方程可化为：由，解得且，直线恒过定点，其坐标为直线恒过定点当点在直线上的射影点恰好是时，即时
21、，点到直线的距离最大的斜率直线的斜率由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即【点睛】本题主要考查直线过定点的问题，以及求直线外一点P到直线的距离最大时直线的方程；熟记两直线交点的求法、点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程即可，属于基础题20.树林的边界是直线（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点和点处，（为正常数），若兔子沿方向以速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度进行追击（为正常数），若狼到达处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求的取值
22、范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）建立坐标系，设，兔子的所有不幸点满足：，可得，即可求得，即可求得答案；（2）设，由兔子要想不被狼吃掉：可得，求得的范围，即可求得的取值范围，即可求得答案.【详解】（1）如图建立坐标系，设由得在以为圆心，半径为的圆及其内部所以（2）设由兔子要想不被狼吃掉：可得解得：可得，【点睛】本题解题关键是掌握圆的基础知识和点到直线距离公式，及其圆在实际问题的中的应用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21.（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的直线的方程；（
23、3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）因为，可得圆为圆心，半径为，设为圆心的圆记为圆，设半径为，由圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为，可得，即可求得圆方程，即可求得答案；（2）分别讨论切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，当切线的斜率存在时，设直线方程为，设直线到圆的距离为，由直线和圆相切，可得，求得,即可求得答案；（3）设直线的方程为，求得圆心，圆心到直线的距离分别为，根据几何关系可得：，结合，即可求得和关系式，即可求得方程，进而求得直线过定点.【详解】（1）圆
24、为圆心，半径为设为圆心的圆记为圆，设半径为由圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为.可得解得圆的标准方程为.（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，直线和圆相切，设直线到圆的距离为，解得，从而切线方程为.故切线方程为或（3）设直线的方程为，则圆心，圆心到直线的距离分别为，几何关系可得：，.由，得，整理得，故，即或，直线为或，直线过点定点或直线过定点.【点睛】本题主要考查了求圆标准方程和求圆的切线方程，及其求直线过定点问题，解题关键是掌握圆的基础知识和求圆的切线方程的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆
25、：与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.（1）若直线与轴交于，且，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别是，求的值；（3）设的中点为，点，若，求的面积.【答案】（1）（2）-1（3）【解析】【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或6，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程；（2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式即可求解；（3）设，由建立方程，化简可得，由（2）可得，联立求解得，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解；【详解】（1）设，求出，则或6，结合直线圆的位置关系可知，一定满足，此时直线的方程为：；当时，直线的方程为：，圆心到直线距离（舍去）；（2）设直线的方程为：，联立可得：， 设，则，则，将代入化简可得，即；（3）设点，由点，可得，化简得，又，式代入式解得或，由圆心到直线的距离，故，此时，圆心到直线距离，则，直线方程为：，到直线的距离，则【点睛】本题考查圆中，由向量关系反求直线方程，由韦达定理求解圆锥曲线中的定值问题，由弦的中点问题求三角形面积，圆的几何性质，点到直线距离公式等，计算能力，综合性强，属于难题