1、2016-2017学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知x20，1，x，则实数x的值是2将函数y=sin（2x）1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为3在等比数列an中，a2=3，a5=81，则an=4已知集合A=x|x5，集合B=x|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是5已知为锐角，且tan（）+3=0，则sin的值是6已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB的值是7在等差数列an中
2、，a1=3，11a5=5a8，则前n项和Sn的最大值为8设为锐角，若sin（+）=，则cos（2）=9设a0，若an=且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是10如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADC=90，AB=3，AD=，E为BC中点，若=3，则=11已知函数f（x）在定义域2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且f（m2）f（m2+2m2），则m的取值范围是12若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=13如图，在APC中，点B是AC中点，AC=2，APB=90，BPC=45，则=14设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在
3、唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA（1）求角A的值；（2）若B（0，），且cos（AB）=，求sinB16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=（）若，求c的最小值；（）设向量，且，求sin（BA）的值17已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果f（x）是奇函数，求实数m、n的值；（3）已知m0，n0，在（2）的条件下，求不等式的
4、解集18如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，ABC=管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由19已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足a1=2，anan+1=2（Sn+1）（nN*）（1）求a2017的值；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足b1=1，bn=（n2，nN*），求bn的前n项和Tn20已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（1）若曲线y=f（x）g（x）在x=1处的切线的方程
5、为6x2y5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）+g（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围2016-2017学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知x20，1，x，则实数x的值是1【考点】元素与集合关系的判断【分析】根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用【解答】解：x21，0，x，x2=1，x2=0，x2=x，
6、由x2=1得x=1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1综上x=1，或x=0当x=0时，集合为1，0，0不成立当x=1时，集合为1，0，1不成立当x=1时，集合为1，0，1，满足条件故答案是：12将函数y=sin（2x）1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（2x+）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得到答案【解答】解：函数y=sin（2x）1，向左平移个单位，可得：y=sin2（x+）1=sin（2x+）1，再向上平移1个单位，可得：y=sin（2x+）1+1=sin（2x+）所以
7、所得图象的函数解析式为sin（2x+）故答案为y=sin（2x+）3在等比数列an中，a2=3，a5=81，则an=3n1【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出an【解答】解：在等比数列an中，a2=3，a5=81，解得a1=1，q=3，an=3n1故答案为：3n14已知集合A=x|x5，集合B=x|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a5【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则AB，集合A=x|x
8、5，集合B=x|xa，结合集合关系的性质，不难得到a5【解答】解：命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件AB故a5故选A55已知为锐角，且tan（）+3=0，则sin的值是【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：为锐角，且tan（）+3=tan+3=0，tan=3再根据 sin2+cos2=1，可得sin=，故答案为：6已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB的值是【考点】余弦定理；余弦定理的应用【分析】利用余弦定理可得 cosB=，代入已知，化简后即可得结果【解答】解：cosB=，=5si
9、nB=3sinB=故答案为7在等差数列an中，a1=3，11a5=5a8，则前n项和Sn的最大值为4【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式可得an，令an0，解得n，再利用求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an公差为d，a1=3，11a5=5a8，11（3+4d）=5（3+7d），解得d=2an=32（n1）=52n，令an0，解得n，因此取n=2时，前n项和Sn取得最大值，为3+1=4故答案为：48设为锐角，若sin（+）=，则cos（2）=0【考点】三角函数的化简求值【分析】利用整体构造思想，将cos（2）=cos（+）+（）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解【解
10、答】解：0，sin（+）=sin（+）=故，cos（+）=；又，sin（+）=cos（+）=cos（）=，sin（）=cos（2）=cos（+）+（）=cos（+）cos（）sin（+）sin（）=0故答案为：09设a0，若an=且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是2，3）【考点】数列的函数特性【分析】首先，根据数列an是递增数列，得到，然后，求解实数a的取值范围即可【解答】解：an=且数列an是递增数列，则，2a3，a（2，3），实数a的取值范围是（2，3）故答案为：（2，3）10如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADC=90，AB=3，AD=，E为BC中点，若=3，则=3【考点】
11、平面向量数量积的运算【分析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值【解答】解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，AB=3，AD=，E为BC中点，A（0，0），B（3，0），D（0，），设C（x，），=（3，0），=（x，），=3，3x=3，解得x=1，C（1，），E为BC中点，E（，），即为（2，），=（2，），=（2，），=2（2）+=4+1=3故答案为：311已知函数f（x）在定义域2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且f（m2）f（m2+2m2），则m的取值范围是【考点】奇偶性与单调性
12、的综合【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：因为函数f（x）在定义域2a，3上是偶函数，所以2a+3=0，所以a=5所以f（m2）f（m2+2m2），即f（m21）f（m2+2m2），所以偶函数f（x）在3，0上单调递增，而m210，m2+2m2=（m1）210，所以由f（m21）f（m2+2m2）得，解得故答案为12若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a
13、的值【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y=，在P（s，t）处的斜率为：k=曲线y=x2的导数为：y=，在P（s，t）处的斜率为：k=由曲线y=alnx（a0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得=，并且t=alns，得lns=，s2=e则a=1，t=，s=，即故答案为：13如图，在APC中，点B是AC中点，AC=2，APB=90，BPC=45，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知可得=（2）=22=2=|2，根据三角形外角平分线定理及勾股定理求出AP长，可得答案【解答】解：在APC中，点B是AC中点，+=2，即=2，故=（2）=22，APB=90，=0，即
14、=2=|2，BPC=45，AC=2，由三角形外角平分线定理得：PA：PB=AC：BC，故AP=2PB，AB=1，解得：AP=，故=，故答案为：14设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是，1）【考点】函数恒成立问题【分析】设g（x）=ex（2x1），y=axa，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=axa的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，设g（x）=ex（2x1），y=axa，存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线
15、y=axa的下方，g（x）=ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x=时，g（x）min=g（）=2e当x=0时，g（0）=1，g（1）=e0，直线y=axa恒过（1，0），斜率为a，故ag（0）=1，且g（1）=3e1aa，解得a的取值范围是，1）故答案为：，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA（1）求角A的值；（2）若B（0，），且cos（AB）=，求sinB【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正
16、弦函数公式化简可得sinA=cosA，结合A（0，），可求tanA=，进而可求A的值（2）由已知及（1）可求AB=B（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sin（AB）的值，利用B=A（AB），根据两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为sin（A+）=2cosA，得sinA+cosA=2cosA，即sinA=cosA，因为A（0，），且cosA0，所以tanA=，所以A=（2）因为B（0，），cos（AB）=，所以AB=B（0，），因为sin2（AB）cos2（AB）=1，所以sin（AB）=，所以sinB=sinA（AB）=sinAcos（AB）cosA
17、sin（AB）=16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=（）若，求c的最小值；（）设向量，且，求sin（BA）的值【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理【分析】（）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求c的最小值；（）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论【解答】解：（），abcosC=ab=，ab=15，c，即c的最小值为；（），即，即tan2B=，2B=或，即B=或cosC=，C，sinC=B=或（舍去）=17已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果f（x）是奇函数，求实数m、n的值；（3）已
18、知m0，n0，在（2）的条件下，求不等式的解集【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法【分析】（1）当m=n=1时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）如果f（x）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数m、n的值；（3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：（1），f（1）f（1），f（x）不是奇函数； （2）f（x）是奇函数时f（x）=f（x），即对定义域内任意实数x成立化简整理得关于x的恒等式（2mn）22x+（2mn4）2x+（2mn）=0，即或 10分（注：少一解扣2分）（3）由题意得m=1，n=2，易判断f（x）在R上递减，2x3，xlog23，即
19、f（x）0的解集为（，log23）18如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，ABC=管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】连接BP，过P作PP1BC垂足为P1，过Q作QQ1BC垂足为Q1，设PBP1=，MBP=，则总路径长f（）=+4cossin，（0），求导，可得函数的最小值点【解答】解：连接BP，过P作PP1BC垂足为P1，过Q作QQ1BC垂足为Q1，设PBP
20、1=，MBP= 若，在RtPBP1中，PP1=sin，BP1=cos，若，则PP1=sin，BP1=cos，若，则PP1=sin，BP1=cos（）=cos， 在RtQBQ1中，QQ1=PP1=sin，CQ1=sin，CQ=sin， 所以总路径长f（）=+4cossin，（0）， 令f（）=0，当时，f（）0当时，f（）0 所以当时，总路径最短答：当BPBC时，总路径最短19已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足a1=2，anan+1=2（Sn+1）（nN*）（1）求a2017的值；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足b1=1，bn=（n2，nN*），求bn的前n项和Tn【考点】
21、数列的求和；数列递推式【分析】（1）由anan+1=2（Sn+1），可得n2时，an1an=2（Sn1+1），相减可得：an+1an1=2，利用等差数列的通项公式即可得出（2）由anan+1=2（Sn+1）（nN*），n=1时，a1a2=2（a1+1），即2a2=23，解得a2，由an+1an1=2，可得数列an的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2即可得出（3）数列bn满足b1=1，bn=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）anan+1=2（Sn+1），n2时，an1an=2（Sn1+1），相减可得：anan+1an1an=2an，an0an+1an1=2，又a1=2，a2017
22、=2+2=2018（2）由anan+1=2（Sn+1）（nN*），n=1时，a1a2=2（a1+1），即2a2=23，解得a2=3，由an+1an1=2，可得数列an的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2a2k1=2+2（k1）=2k，a2k=3+2（k1）=2k+1an=n+1（3）数列bn满足b1=1，bn=，bn的前n项和Tn=+=120已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（1）若曲线y=f（x）g（x）在x=1处的切线的方程为6x2y5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在1，e上存
23、在一点x0，使得f（x0）+g（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为0，令m（x）=h（x）2x，可得m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+alnx0，整理得x0alnx0+0，设m（x）=xalnx+，求得它的导数m（x），然后分a0、0ae1和ae1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的
24、取值范围是（，2）（，+）【解答】解：（1）y=f（x）g（x）=x2alnx的导数为x，曲线y=f（x）g（x）在x=1处的切线斜率为k=1a，由切线的方程为6x2y5=0，可得1a=3，解得a=2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，即为0，令m（x）=h（x）2x，可得m（x）在（0，+）递增，由m（x）=h（x）2=x+20恒成立，可得ax（2x）的最大值，由x（2x）=（x1）2+1可得最大值1，则a1，即a的取值范围是1，+）；（3）不等式f（x0）+g（x0）g（x0）等价于x0+alnx0，整理得x0alnx0+0，
25、设m（x）=xalnx+，则由题意可知只需在1，e上存在一点x0，使得m（x0）0对m（x）求导数，得m（x）=1=，因为x0，所以x+10，令x1a=0，得x=1+a若1+a1，即a0时，令m（1）=2+a0，解得a2若11+ae，即0ae1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+aaln（1+a）+10，即1+a+1aln（1+a），可得ln（a+1）考察式子lnt，因为1te，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立当1+ae，即ae1时，m（x）在1，e上单调递减，只需m（e）0，得a，又因为e1=0，则a综上所述，实数a的取值范围是（，2）（，+）2017年1月8日