1、等比数列及其前n项和建议用时：45分钟一、选择题1等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24A由x，3x3，6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去).所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，选A.2(2019日照一模)已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a3，且a2a4，则()A4n1 B4n1 C2n1 D2n1D设等比数列an的公比为q，则，解得，2n1.故选D.3(2019湖南湘东五校联考)已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是()A1 BC1或 D1或C当q1时，a37，S321，符合题
2、意；当q1时，得q.综上，q的值是1或，故选C.4等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为()A B C DB当n1时，a1S13r，当n2时，anSnSn132n132n332n3(321)832n3832n2319n1，所以3r，即r，故选B.5(2019鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里 B12里C24里 D48里B
3、记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为的等比数列，由S6378，得S6378，解得a1192，a519212(里).故选B.二、填空题6已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值_由题意得a1a25，b4，又b2与第一项的符号相同，所以b22.所以.7在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为_5设此等比数列为am，公比为q，则该数列共有n2项14，q1.由等比数列的前n项和公式，得，解得q，an214，即，解得n3，该数列共有5项8各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n_30由题意知公比大于
4、0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2，14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去).Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.三、解答题9(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)
5、log222n1，因此数列bn的前n项和为132n1n2.10(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.1已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1
6、bn)an1，则数列bn的前n项和为()A3n1 B3n1C DCb12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又数列an为等比数列，数列an的公比为q3，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项和为Sn2n3.故选C.2设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1，2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则q等于()A B C DCbn有连续四项在53，23，19，37，82中且bnan1，即anbn1，则an有连续四项在54，24，18，36，81中an是等比数列，等比数列中有负数项，q0
7、，且负数项为相隔两项，又|q|1，等比数列各项的绝对值递增按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，24，36，54，81，相邻两项相除，则可得24，36，54，81是an中连续的四项q.3(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.4已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2
8、).(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2).a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，3(n2)，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，则an12an53n，an13n12(an3n).又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n.1多选等比数列an中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a11，a99a10010，0，下列选项中，正确的结论有
9、()A0q1Ba99a10110CT100的值是Tn中最大的D使Tn1成立的最大自然数n等于198ABD对于A，a99a10010，aq1971，(a1q98)2q1.a11，q0.又0，a991，且a1001.0q1，故A正确；对于B，0a99a1011，即a99a10110，故B正确；对于C，由于T100T99a100，而0a1001，故有T100T99，故C错误；对于D，T198a1a2a198(a1a198)(a2a197)(a99a100)(a99a100)991，T199a1a2a199(a1a199)(a2a198)(a99a101)a1001，故D正确故选ABD.2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有122n11 023，n10，最小正方形的边长为.