1、7.2空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1.平面的基本性质图形文字语言符号语言基本事实1过不在,有且只有一个平面A,B,C三点不共线有且只有一个平面,使A,B,C基本事实2如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在这个平面内Al,Bl,且A,Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们过该点的公共直线P,且P=l,且Pl基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行若直线ab,cb,则ac2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言ab=Aa=A=l独有关系图形语言或符号语言a,b是异面直
2、线a3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线aa,bb,把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:090.4.等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.1.利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,得到三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.3.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直
3、线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.()(4)两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.()2.下列命题正确的个数为()梯形
4、一定是平面图形;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.33.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2020黑龙江大庆实验中学高三线上测试)已知如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则()A.GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线B.GH=2EF,且直线EF,G
5、H是异面直线C.GH2EF,且直线EF,GH是相交直线D.GH2EF,且直线EF,GH是异面直线5.(2020全国2,16改编)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l平面,直线m平面,则ml.则上述命题中的真命题是.关键能力学案突破考点平面的基本性质及应用【例1】(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BC=12AD,BE=12FA,G,H分别为FA,FD的中点.四边形BCHG的形状是;点C,D,E,F,G中,能共面的四点是.(
6、2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是.解题心得共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.对点训练1(1)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的
7、中点,则这四个点不共面的一个图是()(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面;CE,D1F,DA三线共点.考点空间两直线位置关系的判定【例2】(2019全国3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线解题心得异面直线的判定方法对点训练2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平
8、面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中所有正确的结论为(填序号).考点求异面直线所成的角【例3】如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C
9、.35D.45思维变式1(变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.思维变式2(变设问)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”,其他条件不变,则AA1的值为.解题心得求解异面直线所成角的方法方法解读平移法通过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所成的角,通过解三角形来求解补形法补成长方体或正方体转化法当异面直线所成角为2时,可转化为证明垂直对点训练3(2020安徽马鞍山第二中学高三第二次阶
10、段性素质测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的余弦值为()A.22B.23C.32D.07.2空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1.一条直线上的三个点两个点有且只有一条考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.C因梯形有一组对边平行,所以梯形可以确定一个平面,故正确;如等腰三角形中,AB,AC与底边直线BC所成的角相等,而直线AB,AC不平行,故错误;两两相交的三条直线,比如墙角处的三条交线最多可以确定三个平面,故正确;如果两个平面有三个共线的公共点,这两个平面不重合,故错误.故选C.3.B由条件可知,当m,n,l
11、在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.C设正方体的棱长为2,则EF=12A1B=2,GH=GC2+CH2=6,所以GH2EF.设M,N分别为CC1和A1D1的中点,则六边形EFGMHN是过E,F,G,H四点的平面截正方体的截面,所以EF与GH是共面直线,且EF与GH不平行,所以EF与GH是相交直线.故选C.5.p1,p4对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确
12、定的平面为;若l3与l1相交,则交点A在平面内,同理,l3与l2的交点B也在平面内,所以,AB,即l3,命题p1为真命题;对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题p2为假命题;对于命题p3,空间中两条直线可能相交、平行或异面,命题p3为假命题;对于命题p4,若直线m平面,则直线m垂直于平面内所有直线,直线l平面,直线m直线l,命题p4为真命题.综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题.关键能力学案突破例1(1)平行四边形C,D,E,F(2)点O在直线C1M上(1)因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH12AD.又BC12AD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行
13、四边形.由BE=12FA,G为FA的中点,知BE=FG,又BEAF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.由知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,E,F四点共面.(2)如图所示,连接A1C,因为A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以OC1M.对点训练1(1)DA,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.(2)证明如图,连接EF
14、,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFA1B.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示.则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA,CE,D1F,DA三线共点.例2B如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理
15、,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故选B.对点训练2(1)D(2)(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误.结论正确.例3D连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=2,A1B=BC1=5,故cosA1BC1=5+5-2255=45
16、,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.思维变式112由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1,得AA1=1.此时正四棱柱变为正方体ABCD-A1B1C1D1.由图知A1B与AD1所成角为A1BC1,连接A1C1,则A1BC1为等边三角形,A1BC1=60,cosA1BC1=12,故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为12.思维变式23设AA1=t.A1C1=2,A1B=t2+1=BC1,cosA1BC1=t2+1+t2+1-22t2+1t2+1=910.t=3,即AA1=3.对点训练3B连接BE,CDAB,BAE是异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AB=2,又点E是CC1的中点,BE=4+1=5.又ABBE,AE=AB2+BE2=4+5=3,异面直线AE与CD所成角(或所成角的补角)的余弦值为cosBAE=ABAE=23.故异面直线AE与CD所成角的余弦值为23.故选B.