1、第六章数列6.1数列的概念必备知识预案自诊知识梳理1.数列的有关概念概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式数列an的前n项和把数列an从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn,即Sn=2.数列的表示方法列表法列表格表达n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表达数列的方法3.数列的函数特征数列的三种表示
2、方法也是函数的表示方法,数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n),当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列f(1),f(2),f(n),就是数列an.4.数列的性质单调性递增数列nN*,an+1an递减数列nN*,an+10,nN*),则数列an的通项公式an=.(3)(2020山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则an=.(4)若a1=1,an+1=2nan,则数列an的通项公式an=.考点数列的性质(多考向探究
3、)考向1数列的周期性【例4】在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则S2 020=.解题心得解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.对点训练4数列an满足an+1=2an,0an12,2an-1,12an1的定义域为R,数列an(nN*)满足an=f(n),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.12,+C.(1,3)D.(3,+)解题心得解决数列的单调性问题的三种方法作差比较法根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或常数列作商比较法根据an+1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断数
4、形结合法结合相应函数的图象直观判断对点训练5已知数列an满足an=(12-a)n+1,nan+1,则实数a的取值范围是()A.0,12B.12,712C.12,1D.712,1考向3数列的最大(小)项【例6】已知数列an的通项公式为an=12n-15,其最大项和最小项的值分别为()A.1,-17B.0,-17C.17,-17D.1,-111解题心得求数列的最大项、最小项的常用思想(1)利用“两边夹”思想设an为数列an中的最大项,则有anan-1,anan+1(n2).若设an为数列an中的最小项,则有anan+1,anan-1(n2).(2)利用函数思想构造函数,确定函数的单调性,再求出数列
5、的最大(小)项.根据an对应函数的单调性确定,递增数列:a1a2a2an,故(an)max=a1.对点训练6(1)数列an的通项公式为an=nn2+90,则数列an中的最大项的值是()A.310B.19C.119D.1060(2)若数列an的前n项和Sn=n2-10n(nN*),则数列nan中数值最小的项是()A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项第六章数列6.1数列的概念必备知识预案自诊知识梳理1.确定的顺序每一个数a1+a2+an3.函数值考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.C因为an+2=an+1+an,所以a3=a2+a1=-1,a4=a3+a2=-1,a5=a4+a3=-
6、2.3.C对n=1,2,3,4进行验证,an=2sinn2不合题意.4.12Sn=a1(4n-1)3,a4=32,a4=S4-S3,255a13-63a13=32,a1=12.5.an=2,n=1,4n-3,n2由题意,可知当n=1时,a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3.又因为a1=2不满足an=4n-3,所以an=2,n=1,4n-3,n2.关键能力学案突破例1解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故所求数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).
7、(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故所求数列的一个通项公式an=(-1)n1n(n+1).(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为13,35,57,79,911,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式an=2n(2n-1)(2n+1).(4)将原数列改写为599,5999,59999,易知数列9,99,999,的通项公式为10n-1,故所求的数列的一个通项公式an=59(10n-1).对点训练1解(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一写成分数形式再观察:12,42,92,162,2
8、52,所以它的一个通项公式为an=n22.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)这是一个周期数列,奇数项是1,偶数项是2,所以此数列的一个通项公式为an=1,n为奇数,2,n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一个通项公式为an=10n-1.例2(1)-2n-1(2)an=2,n=1,2n-1n,n2(3)an=3,n=1,2n,n2(1)Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an-1+1,an=Sn-Sn-1=2an-
9、2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.数列an是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,an=-12n-1=-2n-1.(2)当n=1时,由已知,可得a1=21=2.a1+2a2+3a3+nan=2n,故a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=2n-1(n2),由-得nan=2n-2n-1=2n-1.an=2n-1n(n2).显然当n=1时不满足上式.an=2,n=1,2n-1n,n2.(3)由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n,显然当n=1时,不满足上式.所以数列an
10、的通项公式为an=3,n=1,2n,n2.对点训练2(1)an=72,n=1,12n,n2(2)B(1)Sn=4-12n(nN*),当n=1时,a1=S1=4-12=72;当n2时,an=Sn-Sn-1=4-12n-4-12n-1=12n.当n=1时,121=12a1,an=72,n=1,12n,n2.(2)Sn+1=2Sn-1,当n2时,Sn=2Sn-1-1,两式相减得an+1=2an.当n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.数列an从第二项开始为等比数列,公比为2.则a10=a228=128=256,故选B.例3n2+n+22由条件知an+1-an=n+1.则an=(a2-
11、a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)+a1=(2+3+4+n)+2=n2+n+22.变式发散解(1)an+1=nn+1an,a1=2,an0.an+1an=nn+1.an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=n-1nn-2n-1n-3n-223122=2n.(2)设递推公式an+1=2an+3转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3.故an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=5,且bn+1bn=an+1+3an+3=2.所以bn是以5为首项,2为公比的等比数列.所以bn=52n-1,故
12、an=52n-1-3.(3)an+1=2anan+2,a1=2,an0,1an+1=1an+12,即1an+1-1an=12,又a1=2,则1a1=12,1an是以12为首项,12为公差的等差数列.1an=1a1+(n-1)12=n2.an=2n.(4)an+1+an=2n,an+2+an+1=2n+2,故an+2-an=2.即数列an的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.an+1+an=2n,a1=1,a2=1.当n为偶数时,an=a2+2n2-1=n-1.当n为奇数时,an=a1+2n-12=1+n-1=n.综上所述,an=n,n为奇数,n-1,n为偶数(nN*).对点训练3(1)201
13、62017(2)22n-1(3)2n-1+n(4)2n(n-1)2(1)由bn=bn-1+an-1得bn-bn-1=an-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,bn-bn-1=an-1,所以b2-b1+b3-b2+bn-bn-1=a1+a2+an-1=112+123+1(n-1)n,即bn-b1=a1+a2+an-1=112+123+1(n-1)n=11-12+12-13+1n-1-1n=1-1n=n-1n,因为b1=0,所以bn=n-1n,所以b2017=20162017.(2)对an+1=an2两边取对数,得log2an+1=log2an2=2log2an.所以数列log2an是以l
14、og2a1=1为首项,2为公比的等比数列,所以log2an=2n-1,所以an=22n-1.(3)a1=2,an+1=an+2n-1+1,an+1-an=2n-1+1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,则an=2n-2+2n-3+2+1+n-1+a1=1-2n-11-2+n-1+2=2n-1+n.(4)由an+1=2nan,得anan-1=2n-1(n2),所以an=anan-1an-1an-2a2a1a1=2n-12n-221=21+2+3+(n-1)=2n(n-1)2(n2).当n=1时,a1=20=1,符合上式,故an=2n(n-1)
15、2.例40a1=0,an+1=3+an1-3an,a2=31=3,a3=3+31-33=23-2=-3,a4=3-31+33=0,即数列an为周期数列,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2020=S3673+1=a1=0.对点训练425由已知可得,a2=235-1=15,a3=215=25,a4=225=45,a5=245-1=35,an为周期数列,且周期T=4,a2019=a5044+3=a3=25.例5(1)(-16,+)(2)D(1)当n7时,数列Sn为递增数列,设Sn+1Sn,即Sn+1-Sn=an+10,an+1=2(n+1)+0,则-2n-2.又n7,-2n-2-16,即-16
16、.(2)由于an是递增数列,所以a1,且a2a1,即a22a+3,解得a3,所以a3.对点训练5Banan+1恒成立,a满足12-aa,0a1,解得12a712.例6A因为nN*,所以当1n3时,an=12n-150,单调递减,所以最小项为a3=18-15=-17,最大项为a4=116-15=1,故选A.对点训练6(1)C(2)B(1)an=nn2+90=1n+90n,令f(x)=x+90x(x0),运用基本不等式得f(x)610,当且仅当x=310时,等号成立.因为an=1n+90n,nN*,所以1n+90n1610,即当n=9或n=10时,an=119最大.(2)Sn=n2-10n,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.an=2n-11(nN*).记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=114,又nN*,当n=3时,f(n)取最小值.数列nan中数值最小的项是第3项.