1、5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊知识梳理1.向量的夹角已知两个向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则AOB=(0)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是2,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos .(2)投影向量:如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.3.向量数量积的运算律交换律ab=ba分配律(a+b)c=ac+bc
2、数乘结合律(a)b=(ab)=a(b)(为实数)4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.向量的有关概念几何表示坐标表示模|a|=aa|a|=x12+y12数量积|a|b|cos x1x2+y1y2夹角cos =ab|a|b|cos =x1x2+y1y2x12+y12x22+y22A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离|AB|=|AB|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2ab的充要条件ab=0x1x2+y1y2=0|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2+y1y2|x12+y12x22+y225.向量在平面几何中
3、的应用(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数0,使等式AB=CD成立即可.(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证ABCD=0.(4)求夹角问题,利用夹角公式cos =ab|a|b|.1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.2.当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.3.a与b的夹角为锐角,则有ab0,反之不成立(为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.(
4、)(3)若ab=0,则必有ab.()(4)(ab)c=a(bc).()(5)若ab=ac(a0),则b=c.()2.已知向量a,b满足a(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为()A.55eB.-55eC.-255eD.-355e3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有()A.ab=5B.与a同向的单位向量是31010,-1010C.a与b的夹角为4D.a与b平行4.(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6)B
5、.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)5.(2021年1月8省适应测试)已知单位向量a,b满足ab=0,若向量c=7a+2b,则sin=()A.73B.23C.79D.29关键能力学案突破考点平面向量数量积的运算【例1】(1)(2019天津,14)在四边形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BDAE=.(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为6,则(a+b)(2a-b)=()A.12B.-32C.-12D.32解题心得1.求两个向量的数量积的方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a
6、|b|cos(其中是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.对点训练1在ABCD中,|AB|=8,|AD|=6,N为DC的中点,BM=2MC,则AMNM=.考点平面向量数量积的性质及其应用(多考向探究)考向1求平面向量的模【例2】(1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a(a-2b),则|2a+b|的值是.(2)已知向量a,b为单位向量,且ab=-12
7、,向量c与a+b共线,则|a+c|的最小值为()A.1B.12C.34D.32考向2求平面向量的夹角【例3】(1)(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935(2)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56考向3平面向量的垂直【例4】(1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.(2)(2020湖南师大附中高三模拟)已知向量a=52,0,b=(0,5)的起点均为原点,
8、而终点依次对应点A,B,线段AB上存在点P,若OPAB,OP=xa+yb,则x,y的值分别为()A.15,45B.43,-13C.45,15D.-13,43解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=aa及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,
9、进而求解参数.对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a(a-b),则|b|=()A.0B.1C.2D.2(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.考点平面向量的综合应用(多考向探究)考向1平面向量在三角函数中的应用【例5】已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,
10、然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.对点训练3已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,3),b=(cos ,sin ),R.(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当0,2时,若存在两个不同的,使得|a+3b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.考向2平面向量在解析几何中的应用【例6】已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点为(-1,1),直线AB交x轴于点P,则PAPB的值为.解题心得1.数量
11、积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.2.若a,b为非零向量,cos=ab|a|b|(夹角公式),则abab=0.3.向量在解析几何中的作用(1)载体作用:解决向量在解析几何中的应用问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.对点训练4若点O和点F分别为椭圆x24+y23=
12、1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为.5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊知识梳理1.非零ab2.|a|b|cos 考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.D由a=(1,2),可得|a|=5,由a(b+a)=2,可得ab+a2=2,ab=-3,向量b在向量a上的投影向量为ab|a|e=-355e.3.ABCa=(3,-1),b=(1,-2),ab=31+(-1)(-2)=5,故A正确;|a|=32+(-1)2=10,与a同向的单位向量是310,-110,即31010,-1010,故B正确;|b|=12+(-2)2=5,设a与b的夹角为,则cos
13、=ab|a|b|=5510=22,0,=4,故C正确;31-1-2,a与b不平行,故D错误.故选ABC.4.A如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),APAB=2x+0y=2x.-1x3,APAB的取值范围为(-2,6),故选A.5.B关键能力学案突破例1(1)-1(2)A(1)ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30,AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,BDAE=(BA+AD)(AB+BE)=-BA2+BABE+AD
14、AB+ADBE=-12+232cos30+523cos30+52cos180=-22+6+15=-1.(2)(a+b)(2a-b)=2a2-b2+ab=2-3+1332=12.故选A.对点训练124(方法1)AMNM=(AB+BM)(NC+CM)=AB+23AD12AB-13AD=12AB2-29AD2=1282-2962=24.(方法2特例图形)若ABCD为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,则N(4,6),M(8,4).所以AM=(8,4),NM=(4,-2),所以AMNM=(8,4)(4,-2)=32-8=24.例2(1)10(2)D(1)由a(a-2b)得a(a-2b)=a2-2ab=
15、0,所以ab=12,所以(2a+b)2=4a2+b2+4ab=412+22+412=10,所以|2a+b|=10.(2)向量c与a+b共线,可设c=t(a+b)(tR),a+c=(t+1)a+tb,(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)ab+t2b2.向量a,b为单位向量,且ab=-12,(a+c)2=(t+1)2-t(t+1)+t2=t2+t+134,|a+c|32,|a+c|的最小值为32,故选D.例3(1)D(2)B(1)a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,cos=a(a+b)|a|a+b|=1957
16、=1935.(2)因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.所以cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.例4(1)22(2)C(1)由题意可知ab=|a|b|cos45=22.ka-b与a垂直,(ka-b)a=k|a|2-ab=k-22=0,k=22.(2)由题意,向量a=52,0,b=(0,5),所以OP=xa+yb=52x,5y,AB=b-a=-52,5.因为OPAB,所以OPAB=-254x+25y=0,可得x=4y.又A,B,P三点共线,所以x+y=1.联立x=4y,x+y=1,解得x=45,y=15.故选C.对点训练2
17、(1)D(2)5(1)由题意知a-b=(-1,1-m),a(a-b),a(a-b)=-1+1-m=0,m=0,b=(2,0),|b|=2.故选D.(2)由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.例5解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),ab,所以-3cosx=3sinx.则tanx=-33.又因为x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cosx,sinx)(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时
18、,f(x)取到最小值-23.对点训练3解(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又因为2a-b与a-7b垂直,所以(2a-b)(a-7b)=8-15ab+7=0,所以ab=1.所以|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=7.(2)由|a+3b|=|ma|,得|a+3b|2=|ma|2.即|a|2+23ab+3|b|2=m2|a|2,即7+23(cos+3sin)=4m2.所以43sin+6=4m2-7.由0,2,得+66,23,因为存在两个不同的满足题意,所以由数形结合知43sin+66,43),即64m2-743,即134m20,所以132m2+32.故m的取值
19、范围为132,2+32.例6-5设M(-1,1),圆心C(-2,0),kMC=1-0-1+2=1,kAB=-1,AB所在直线方程为y-1=-(x+1),即x+y=0,令y=0,可得P(0,0),联立方程x2+y2+4x-5=0,x+y=0,消y得2x2+4x-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-52,y1y2=(-x1)(-x2)=-52,PAPB=x1x2+y1y2=2x1x2=-5.对点训练46由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024.因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OPFP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2.因为-2x02,故当x0=2时,OPFP取得最大值6.