1、2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷二.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1若k，1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点2在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC的形状是3与，两数的等比中项是4设x、yR+且=1，则x+y的最小值为5已知实数x，y满足，则z=2xy的最大值为6在ABC中，若（a+b+c）（c+ba）=3bc，则A=7点P（a，3）到直线4x3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y30表示的平面区域内，则点P的坐标是8若不等式0x2ax+a1，只有唯一解，则实数a的值为9
2、在锐角ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是10已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围11设实数x，y满足x2+2xy1=0，则x+y的取值范围是12已知数列an满足3an+1+an=4（n1）且a1=9，前n项和为Sn，则满足的最小整数n是13观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，2、3、4条直线相交，交点的个数最多分别为1、3、6个，其通项公式an=（an为n条直线的交点的最多个数）14已知等差数列an首项为a，公差为b，等比数列bn首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1b1，b2a3，对于任意的nN*，总存在mN*，使得am+3=bn成
3、立，则an=二.解答题：本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标：A（0，0），B（3，），C（4，0）（1）求边CD所在直线的方程（结果写成一般式）；（2）证明平行四边形ABCD为矩形，并求其面积16设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b17设Sn是等差数列an的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列|的前n项的和，求Tn18设a，b均为正数，且a+b=1，（）求证： +4；（）求证： +220
4、1719已知数列an满足2an+1=an+an+2（n=1，2，3，），它的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36（1）求an；（2）已知等比数列bn满足b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4（a1），设数列anbn的前n项和为Tn，求Tn20设数列an满足：a1=1，且当nN*时，an3+an2（1an+1）+1=an+1（1）比较an与an+1的大小，并证明你的结论（2）若bn=（1），其中nN*，证明022015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析二.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题纸相应位置上1若k，1，b三
5、个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点（1，2）【考点】等差数列的性质；恒过定点的直线【分析】由条件可得 k+b=2，即2=k1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，2）【解答】解：若k，1，b三个数成等差数列，则有 k+b=2，即2=k1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，2），故答案为 （1，2）2在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC的形状是钝角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】利用诱导公式将cosAsinB转化为sin（A）sinB，再利用正弦函数在（0，）上的单调性即可得答案【解答】解：由cosAsinB得sin（A）sinB，A、B均为锐角，A（0
6、，），B（0，），而y=sinx在（0，）上是增函数，AB，即A+B，C=（A+B）（，）故答案为：钝角三角形3与，两数的等比中项是1【考点】等比数列的性质【分析】要求两数的等比中项，我们根据等比中项的定义，代入运算即可求得答案【解答】解：设A为与两数的等比中项则A2=（）（）=1故A=1故答案为：14设x、yR+且=1，则x+y的最小值为16【考点】基本不等式【分析】将x、yR+且=1，代入x+y=（x+y）（），展开后应用基本不等式即可【解答】解：=1，x、yR+，x+y=（x+y）（）=10+10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）故答案为：165已知实数x，y满足，则z=
7、2xy的最大值为7【考点】简单线性规划【分析】根据约束条件画出可行域，得到ABC及其内部，其中A（5，3），B（1，3），C（2，0）然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2xy有最大值，并且可以得到这个最大值【解答】解：根据约束条件画出可行域如图，得到ABC及其内部，其中A（5，3），B（1，3），C（2，0）平移直线l：z=2xy，得当l经过点A（5，3）时，Z最大为253=7故答案为：76在ABC中，若（a+b+c）（c+ba）=3bc，则A=60【考点】余弦定理【分析】已知等式左边利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，将得出的
8、关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：已知等式整理得：（a+b+c）（c+ba）=（b+c）2a2=b2+c2a2+2bc=3bc，即b2+c2a2=bc，cosA=，A为三角形内角，A=60故答案为：607点P（a，3）到直线4x3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y30表示的平面区域内，则点P的坐标是（3，3）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；点到直线的距离公式【分析】根据点到直线的距离公式表示出P点到直线4x3y+1=0的距离，让其等于4列出关于a的方程，求出a的值，然后又因为P在不等式2x+y30所表示的平面区域内，如图阴影部分表示不等式2x+y30所表
9、示的平面区域，可判断出满足题意的a的值，即得点P的坐标【解答】解：点P到直线4x3y+1=0的距离d=4，则4a8=20或4a8=20，解得a=7或3因为P点在不等式2x+y30所表示的平面区域内，如图根据图象可知a=7不满足题意，舍去所以a的值为3，则点P的坐标是 （3，3），故答案为：（3，3）8若不等式0x2ax+a1，只有唯一解，则实数a的值为2【考点】一元二次不等式的解法【分析】结合二次函数的性质知，不等式0x2ax+a1有唯一解可化为x2ax+a=1有唯一解，从而解得【解答】解：不等式0x2ax+a1有唯一解，x2ax+a=1有唯一解，即=a24（a1）=0；即a24a+4=0，解
10、得，a=2，故答案为：29在锐角ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是（，）【考点】余弦定理的应用【分析】要使的三角形是一个锐角三角形，只要使得可以作为最大边的边长的平方小于另外两边的平方和，解出不等式组，根据边长是一个正值求出结果【解答】解：a=2，b=3要使ABC是一个锐角三角形要满足32+22c2，22+c232，5c213故答案为：10已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围（，）【考点】等比数列的性质【分析】设三边：a、qa、q2a、q0则由三边关系：两短边和大于第三边a+bc，把a、qa、q2a、代入，分q1和q1两种情况分别求得q的范围，最后综合可得
11、答案【解答】解：设三边：a、qa、q2a、q0则由三边关系：两短边和大于第三边a+bc，即（1）当q1时a+qaq2a，等价于解二次不等式：q2q10，由于方程q2q1=0两根为：和，故得解：q且q1，即1q（2）当q1时，a为最大边，qa+q2aa即得q2+q10，解之得q或q且q0即q，所以q1综合（1）（2），得：q（，）故答案为：（，）11设实数x，y满足x2+2xy1=0，则x+y的取值范围是（，11，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先对x2+2xy1=0进行化简变形得（x+y）2=1+y21，然后解不等式即可求出所求【解答】解：x2+2xy1=0（x+y）2=1+y21
12、则x+y1或x+y1故x+y的取值范围是（，11，+）故答案为：（，11，+）12已知数列an满足3an+1+an=4（n1）且a1=9，前n项和为Sn，则满足的最小整数n是7【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】对3an+1+an=4（n1）变形得3an+11=（an1），an=8（）（n1）+1，由此能求出的最小整数n【解答】解：对3an+1+an=4（n1）变形得：3an+11=（an1），an=8（）（n1）+1，Sn=81+（）+（）2+（）（n1）+n =66（）n+n，|Snn6|=|6（）n|故：n=7故答案为：713观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，2、3、4条直线
13、相交，交点的个数最多分别为1、3、6个，其通项公式an=n（n1）（an为n条直线的交点的最多个数）【考点】数列的求和；归纳推理【分析】根据2条、3条、4条直线相交交点个数最多的数目，归纳总结得到一般性规律确定出n条直线交点个数最多的即可【解答】解：2条直线相交，最多有2（21）=1个交点，即a2=2（21）；3条直线相交，最多有3（31）=1+2=3个交点，即a3=3（31）；4条直线相交，最多有4（41）=1+2+3=6个交点，即a4=4（41），依此类推，n条直线相交，最多有n（n1）个交点，即an=n（n1）故答案为： n（n1）14已知等差数列an首项为a，公差为b，等比数列bn首项
14、为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1b1，b2a3，对于任意的nN*，总存在mN*，使得am+3=bn成立，则an=5n3【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】先利用a1b1，b2a3，以及a，b都是大于1的正整数求出a=2，再利用am+3=bn求出满足条件的b的值即可求出等差数列an的通项公式【解答】解：a1b1，b2a3，ab以及baa+2bb（a2）ab，a21a3，a=2又因为 am+3=bna+（m1）b+3=ban1又a=2，b（m1）+5=b2n1，则b（2n1m+1）=5又b3，由数的整除性，得b是5的约数故2n1m+1=1，b=5，an=a+b（n1）=2+
15、5（n1）=5n3故答案为5n3二.解答题：本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标：A（0，0），B（3，），C（4，0）（1）求边CD所在直线的方程（结果写成一般式）；（2）证明平行四边形ABCD为矩形，并求其面积【考点】直线的斜截式方程【分析】（1）由于平行四边形ABCD的对边平行，故求边CD所在直线的方程即为求过C与AB平行的直线；（2）由于AB的斜率，与BC的斜率之积为1，故平行四边形ABCD为为矩形，再由两点间的距离公式即可求其面积【解答】解：由于平行四边形ABCD的
16、三个顶点坐标：则，（1）由于ABCD，则直线CD的方程为：y0=（x4），即边CD所在直线的方程为：x4=0；（2）由于，则直线AB与BC的斜率之积为1，即ABBC，故平行四边形ABCD为矩形，又由AB=，BC=，则矩形ABCD的面积为416设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由ABC为锐角三角形可得答案（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理
17、得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=27+2545=7所以，17设Sn是等差数列an的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列|的前n项的和，求Tn【考点】数列的求和【分析】根据等差数列的前n项和公式，再结合条件S7=7，S15=75进而可求出首项a1和公差d，可求sn，进而可求|，讨论当n5，Tn，n6，两种情况，结合等差数列的求和公式即可求解【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则，解得：a1=2，d=1，|=|，n5，|=+，数列|是2为首项，为公差的等差数列，Tn=nn，T5=5，当n6，Tn=
18、+，Tn=2T5Tn=n2n+10，Tn=18设a，b均为正数，且a+b=1，（）求证： +4；（）求证： +22017【考点】不等式的证明；基本不等式【分析】（）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出（）根据基本不等式进行证明即可【解答】（）证明：a，b为两个的正数，且a+b=1，+=（a+b）（+）=2+2+2=4，当且仅当a=b=时取等号而ab，+4；（）证明：a，b为两个的正数，a+b=1，+2=2（）1008=241008=22017，当且仅当a=b=时取等号+2201719已知数列an满足2an+1=an+an+2（n=1，2，3，），它的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36（
19、1）求an；（2）已知等比数列bn满足b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4（a1），设数列anbn的前n项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由2an+1=an+an+2判断出数列an是等差数列，将a3=5，S6=36用基本量表示得到关于首项、公差的方程组，求出首项、公差，利用等差数列的通项公式求出an；（2）将b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4两个式子作商求出公比，利用等比数列的通项公式求出通项，由于anbn=（2n1）an1所以利用错位相减的方法求出数列anbn的前n项和为Tn【解答】解：（1）由2an+1=an+an+2得an+2an+1=a
20、n+1an，则数列an是等差数列 因此，an=2n1 （2）设等比数列bn的公比为q，=，q=a由b1+b2=1+a，得b1（1+a）=1+aa1，b1=1则bn=b1qn1=an1，anbn=（2n1）an1 Tn=1+3a+5a2+7a3+（2n1）an1当a1时，aTn=a+3a2+5a3+7a4+（2n1）an由得（1a）Tn=1+2a+2a2+2a3+2an1（2n1）an=， 当a=1时，Tn=n2 20设数列an满足：a1=1，且当nN*时，an3+an2（1an+1）+1=an+1（1）比较an与an+1的大小，并证明你的结论（2）若bn=（1），其中nN*，证明02【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）由于，则，所以=0，由此能够证明an+1an（2）由于，由an+1an，知，而an+1ana1=10，故bn0，由此入手能够证明【解答】解：（1）由于，则，=0，an+1an（2）由于，由（1）an+1an，则，即，而an+1ana1=10，故bn0，又 =2（），+=又an+1an，且a1=1，故an+10，从而2017年1月4日